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自守L-函数的零点密度估计

作　者: 张德瑜
导　师: 展涛；刘建亚
学　校: 山东大学
专　业: 基础数学
关键词: 全纯尖形式自守L-函数广义Riemann猜想广义Ramanujan猜想零点密度
分类号: O174.5
类　型: 博士论文
年　份: 2006年
下　载: 51次
引　用: 0次
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内容摘要

一般来说，L-函数是一种生成函数，它可以来源于算数几何（比如定义在一个数域上的阿贝尔变量），或是来源于自守形式。根据Langlands纲领，任何一个一般的L-函数都可以分解为GL_m／Q上的自守表示的L-函数的乘积，并且对于任何自守L-函数Ramanujan-Petersson猜想都成立。因而，对于自守L-函数的研究具有非常重要的理论意义。本文中，我们将研究SL₂／Z上的全纯尖形式对应的自守L-函数。我们首先假设f为定义在Γ=SL₂（Z）上的权为k的全纯尖形式，Fourier系数为a_f（n）： f（z）=sum from n＞0 α_f（n）e（nz）。我们将f正规化，使得a_f（1）=1且λ_f（n）=a_f（n）／n^{（k-1）／2}。根据Ramanujan猜想，我们有 |λ_f（n）|≤d（n），（0.1）这里d（n）为除数函数。我们定义 L（s，f（?）x）=sum from n=1 to ∞ （λ_f（n）x（n））/n^s，Re（s）＞1，（0.2）其中x（modq）为原特征，且1≤q≤Q。众所周知，自守L-函数L（s，f（?）x）可以解析延拓至整个平面，并且满足函数方程[16] L（s，f（?）x）=ψ（s，x）L（1-s，f（?）（?）），这里 ψ（s，x）=（2π）^2sT（x）²q^1-2s Γ（（k+1）/2-s）/Γ（（k-1）/2+s）．

全文目录

英文摘要  5-9
中文摘要  9-13
符号说明  13-14
第一章绪论  14-20
  §1.1 SL_2(Z)上的全纯尖形式  14-15
  §1.2 自守L-函数L(s,f(?)x)  15-17
  §1.3 本文的主要结果  17-20
第二章自守L-函数的零点密度估计  20-32
  §2.1 基本引理  20-21
  §2.2 L(s,f(?)x)的平方积分均值估计  21-25
  §2.3 定理1的证明  25-32
第三章零点密度估计的改进  32-42
  §3.1 基本引理  32-34
  §3.2 零点的分类  34-37
  §3.3 |R_1|的估计  37-40
  §3.4 |R_2|的估计  40-41
  §3.5 定理2的证明  41-42
参考文献  42-44
致谢  44-45
读博期间完成的论文  45-46
学位论文评阅及答辩情况表  46

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