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带循环的赋值图的表示和Double Ringel-Hall代数

作　者: 王延新
导　师: 肖杰
学　校: 清华大学
专　业: 数学
关键词: 赋值箭图广义Kac-Moody代数 Double Ringel-Hall代数
分类号: O157.5
类　型: 博士论文
年　份: 2005年
下　载: 58次
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内容摘要

图的不可分解表示的维数向量与由图所对应的矩阵定义的正根系之间的对应是Kac定理反映的主要内容。本文对可带循环的赋值箭图来讨论这一内容,同时用Double Ringel-Hall代数的方法来证明。首先对任意对角线元素为偶数的可对称化的整系数Borcherds-Cartan矩阵A,可定义一个Borcherds datum C与之对应,并存在一个赋值箭图Γ及其一个F_q-species S,使得F_q-species S的对称Euler型恰为A所定义的Borcherdsdatum C。从任意带有自同构(admissible或非admissible)的箭图(Q,σ)(称为σ-箭图)出发,可构造一个赋值箭图Γ及其一个F_q-species S。而任意赋值箭图Γ都可由不含loop的σ-箭图(Q,σ)来得到。在(Q,σ)的路代数上引入Frobenius态射F,赋值箭图(Γ,S)的F_q-表示可解释为σ-箭图(Q,σ)在F_q上的F-稳定表示。应用Burnside轨道计算公式,我们给出任意赋值箭图的固定维数向量的表示(不可分解表示)的同构类的个数计算公式,进而应用Frobenius映射及箭图自同构,得到可带循环的赋值箭图的Kac定理。由Green公式,以有限维遗传代数的模的同构类为指标的基元生成的(extended twisted)Ringel-Hall代数可定义余乘结构,进而定义对极后可做成Hopf代数。它所定义的Double Ringel-Hall代数典范同构于Borcherds广义Kac-Moody代数的量子包络代数。文中从可带循环的赋值箭图(Γ,S)出发。首先对S的幂零表示所定义的Ringel-Hall代数H((?))和Double Ringel-Hall代数D((?))进行研究。考查Double Generic Composition代数C~*((?)),得到C~*((?))典范同构于广义Kac-Moody代数的量子包络代数。通过分解D((?)),一方面,得到Double Ringel-Hall代数D(A)典范同构于广义Kac-Moody代数的量子包络代数。另一方面,考查可积高权D((?))-模的完全可约性,并给出高权为支配整权的不可约高权模的Weyl-Kac特征公式,并用Ringel-Hall代数的方法证明任意赋值箭图情形的Kac定理。

全文目录

第1章引言  9-14
  1.1 综述  9-13
  1.2 论文的结构  13-14
第2章预备知识  14-32
  2.1 箭图  14-16
  2.2 赋值箭图  16-17
  2.3 Skew-Hopf对  17-18
  2.4 Borcherds-Cartan矩阵和Borcherds datum  18-19
  2.5 Borcherds类L(C)  19-21
  2.6 广义Kac-Moody代数及其量子化  21-27
  2.7 GL_m(F_(q~r))的共轭类  27-29
  2.8 Hall代数  29-30
  2.9 有限维遗传代数的Ringel-Hall代数  30-32
第3章赋值箭图的表示的个数  32-47
  3.1 Borcherds-Cartan矩阵和k-species之间的对应  32-34
  3.2 表示的同构类的个数  34-42
    3.2.1 Frobenius映射  34-35
    3.2.2 σ-箭图  35-39
    3.2.3 F-稳定表示的个数  39-42
  3.3 根及维数向量  42-47
第4章 Double Ringel-Hall代数  47-85
  4.1 基础知识  47-53
    4.1.1 记号和称谓约定  47
    4.1.2 单表示  47-48
    4.1.3 幂零表示  48-49
    4.1.4 扩张Borcherds datum  49-53
  4.2 Double Ringel-Hall代数及其结构  53-60
    4.2.1 Ringel-Hall代数及其Drinfeld Double  53-56
    4.2.2 Double Ringel-Hall代数的结构  56-60
  4.3 Generic合成代数  60-63
  4.4 Drinfeld Double D′(Λ)  63-64
  4.5 表示理论及完全可约性  64-72
    4.5.1 范畴ο和范畴(?)  64-66
    4.5.2 范畴ο′及范畴(?)  66-69
    4.5.3 完全可约性  69-72
  4.6 典范同构  72-76
  4.7 Weyl-Kac特征公式  76-82
  4.8 Kac定理  82-85
第5章赋值图的任意表示  85-90
  5.1 D(Λ)的分解  85-88
  5.2 Drinfeld Double D′(Λ)  88-89
  5.3 表示理论及完全可约性  89
  5.4 Weyl-Kac特征公式  89-90
结论  90-91
参考文献  91-95
致谢与声明  95-96
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  96

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