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C～n中Riemann—Hilbert边值问题

作　者: 胡松林
导　师: 杜金元
学　校: 武汉大学
专　业: 基础数学
关键词: 边值问题 T-算子多调和函数多解析函数广义解析函数 Clifford代数
分类号: O174.5
类　型: 博士论文
年　份: 2005年
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内容摘要

解析函数边值问题是复变函数论中的一个重要分支,在力学、物理学、工程技术中有着十分广泛的应用。从五十年代起,国内这类问题的研究得到了进一步的深入,并将其应用到数学弹性力学,广义解析函数及偏微分方程领域。 Riemann—Hilbert边值问题(简称R—H问题)是解析函数边值问题中较基本的边值问题。路见可教授在《解析函数边值问题》一书中十分详尽地介绍了基本边值问题以及与之相关问题的解法,其中Plemelj公式起着十分重要的作用。关于R—H问题的研究,从解析到双解析,三解析,甚至多解析函数,以及广义解析和方程组的推广,国内学者多采用上述经典方法。另一方面,从函数条件域上讲,可讨论未知函数在边界具高奇性(Hadamard主值意义下)的R—H边值问题。多复变的Riemann—Hilbert边值问题是基于单复变边值问题的一种自然推广,但其研究并不充分。本文主要做了以下两个方面的工作:首先,利用Poission核可以求解单位多圆柱体上Riemann—Hilbert边值问题,并将原来求解空间从解析函数空间推广到亚纯函数空间,多值函数空间。其次,讨论了广义解析函数的非齐次C—R系。文中理论基础用到多复函数理论,广义解析函数理论,Clifford分析,测度理论以及Fourier分析,如高维空间的多复变函数的边值问题,广义解析的非齐次C—R系的讨论,非线性的Dirichlet问题,多重积分与积分换序,可解性与可解条件的研究等等。文中引入了一些重要的过渡函数,如Plemelj公式,δ(x)函数,T-算子,它们均起着十分重要的作用。从方法上看,单复变用到对称扩张(如共形映照,对称函数的引入),多复分析中则采用过渡函数(如δ(x)函数)。从求解空间上看,我们从单复变到多复变,从解析函数空间到亚纯函数、多值函数、单演函数空间。问题分析中遇到的困难如函数条件域,多圆柱体的情况到更一般的域等。全文共分为五章。第一章是引言,介绍了本文的历史背景以及目前国内外学者所作的工作。第二章介绍了分析中的Fourier级数,测度论基础中的乘积测度和著名的Fubini定理以及广义解析函数理论。第三章是本文的核心部分,具体详细地讨论了Riemann—Hilbert边值问题的求解方法、解的形式和可解条件。第四章是第三章的继续,探讨了广义解析函数的Riemann—Hilbert边值问题。第五章研究了一阶椭圆方程的非线性半Dirichlet问题。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
第一章引言  8-11
第二章预备知识  11-28
  §2.1 Fourier级数  11-14
  §2.2 乘积测度与Fubini定理  14-18
  §2.3 广义解析函数理论基础  18-28
第三章 C~n中Riemann—Hilbert边值问题  28-52
  §3.1 引言  28
  §3.2 Schwarz问题  28-30
  §3.3 R—H问题  30-32
  §3.4 亚纯与多值解析函数的R—H问题  32-37
  §3.5 非齐次C—R系  37-52
第四章 C~n中广义解析函数的R—H边值问题  52-60
  §4.1 背景介绍  52
  §4.2 非齐次C—R系  52-55
  §4.3 C~n中广义解析函数的Riemann—Hilbert问题  55-60
第五章一阶椭圆方程的非线性半Dirichlet问题  60-76
  §5.1 单位球R~m(m≥3)中非线性半Dirichlet问题  60-73
  §5.2 矩阵型的非线性半Dirichlet问题  73-76
参考文献  76-80
致谢  80

C～n中Riemann—Hilbert边值问题

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