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三维Ginzburg Landau方程的动力学行为

作　者: 李栋龙
导　师: 郭柏灵
学　校: 中国工程物理研究院北京研究生部
专　业: 应用数学
关键词: 整体吸引子 时间周期解 Ginzburg-Landau方程 广义Ginzburg-Landau方程 三维空间 吸引子的正则性 指数吸引子 无界区域 权Sobolev空间
分类号: O19
类　型: 博士论文
年　份: 2003年
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内容摘要


该文由两部分构成。首先，在第一部分，考虑Ginzburg-Landau方程在三维空间的整体吸引子的存在性，整体吸引子的正则性，指数吸引子和三无界区域R3上的整体吸引子。第二部分，考虑广义Ginzburg-Landau方程在三维空间的整体吸引子的存在性和时间周期解的存在性。 该文由七章构成。在第一章，介绍Ginzburg-Landau方程的物理背景，研究状况及本文的工作内容。在第二章，考虑Ginzburg-Landau方程在三维空间的整体吸引子的存在性，首先考虑Ginzburg-Landau方程的局部解的存在性，对于一给定的扰动项N（u），证明N（u）是收缩的且是局部Lipschitz连续的。因此，可获得局部解的存在性。然后，使用先验估计的方法获得整体解的存在性。同时也获得了紧的有界吸收集的存在性，从而得到整体吸引子的存在性，最后讨论了它的Hausdorff维数和分形维数。第三章，在三维空间中研究Ginzburg-Landau方程整体光滑解的存在性和整体吸引子的正则性，首先利用系列精细的估计证明整体光滑解的存在性。进而研究在Hm中的吸引子的存在性。考虑H1中的解半群{S（1）（t）}t≥0，采用分解其解算子S1（t）=S11（t）+S21（t）的方法，证明了S11（t）u0比S1（t）u0更加正则，而当t→∞时，‖S21（t）u0‖1趋于零，其中u0∈H2。进而证明H1中的吸引子A1等于Hm（2σ+1≥m≥2）中的吸引子Am。第四章，研究Ginzburg-Landau方程在三维空间的指数吸引子的存在性。首先证明解算子S（t）是Lipschitz连续的，然后证明离散解算子S*=S（t*）满足挤压性，从而得到指数吸引子M的存在性。它的分形维数是有限的。第五章，讨论Ginzburg-Landau方程在三维无界区域R3上的整体吸引子。通过引入加权空间，以克服古典Sobolev空间在无界区域嵌入的非紧性。在加权空间进行先验估计，获得解算子S（t）在加权空间紧的有界吸收集，从而在加权空间得到整体吸引子的存在性。第六章，它是论文的第二部分，研究带导数项的广义Ginzburg-Landau方程在三维空间的整体吸引子的存在性。主要困难在于解在空间H1，H2的先验估计。我们充分考虑方程的特点，将高阶非线性项化为一非负定二次型使得解在H1中的吸收集的存在性得以证明。通过能量估计的巧妙组合以及多种形式的不等式进行精细的估计以获得H“的吸收集的存在性.从而得到整体吸引子的存在性，讨论了它的Hausdorff维数和分形维数.第七章，讨论广义Ginzburg一Landau方程在三维空间的时间周期解的存在性。首先应用Galerkin方法和Larey一schaude:不动点定理证明近似解的存在性，然后进行近似解的高阶导数的先验估计（关于空间变量和时间变量）。最后，使用标准的紧性讨论的方法得到这个系统的时间周期解的存在性。

全文目录


第一章 绪论  12-23
  1.1 Ginzburg-Landau方程的物理背景及研究状况  12-16
  1.2 本文的主要结果  16-23
第二章 三维Ginzburg-Landau方程的有限维行为  23-35
  2.1 引言  23-24
  2.2 局部解的存在唯一性  24-25
  2.3 先验估计  25-30
  2.4 整体吸引子及其维数估计  30-35
第三章 三维Ginzburg-Landau方程的吸引子的正则性  35-51
  3.1 引言  35
  3.2 泛函空间和基本结果  35-36
  3.3 光滑解和吸引子的存在性  36-41
  3.4 半群的分解  41-49
  3.5 整体吸引子的正则性  49-51
第四章 三维Ginzburg-Landau方程的指数吸引子  51-62
  4.1 引言  51-52
  4.2 解的性质及基本结果  52-53
  4.3 指数吸引子  53-62
第五章 三维全空间上Ginzburg-Landau方程的长时间行为  62-78
  5.1 引言  62-63
  5.2 局部解及解的先验估计  63-74
  5.3 整体吸引子的存在性  74-78
第六章 三维广义Ginzburg-Landau方程的整体吸引子  78-95
  6.1 引言  78-79
  6.2 局部解的存在性和唯一性  79-80
  6.3 先验估计  80-90
  6.4 整体吸引子及其Hausdorff和分形维数估计  90-95
第七章 三维广义Ginzburg-Landau方程的时间周期解的存在性  95-112
  7.1 引言  95-96
  7.2 抽象问题和近似解  96-97
  7.3 先验估计  97-110
  7.4 主要定理  110-112
参考文献  112-119

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 动力系统理论
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