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分形函数与分数阶微积分：构造性方法的应用

作　者: 姚奎
导　师: 周颂平
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 分数阶微积分分形函数方法的应用构造性 Weierstrass函数分数阶积分积分函数微分函数分形图象 Rademacher函数
分类号: O174.4
类　型: 博士论文
年　份: 2003年
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内容摘要

分形，近年来引起人们广泛的关注，研究分形集合与分形图象的分形分析亦有了重大的进展。几个分形函数，Weierstrass函数，Besicovitch函数，Rademacher函数，Takagi函数等，由于它们所特有的分形性质，在分形研究中占有重要地位，因此，它们的分形维数、图象模拟的研究，也成为当前的重要课题。另一方面，分数阶微积分，作为研究函数的一个有力工具，近来也被用于对分形的研究。应用分数阶微积分来研究分形函数与分形图象，是这方面的一个重要问题。本文主要利用分数阶微积分作为工具，研究分形函数的分数阶导数、分数阶积分与分形维数的关系。第一章对本论文中涉及的主要概念与有关的研究成果作一综合介绍。第二章研究一类Weierstrass函数W(t)、它的分数阶积分函数g(t)、分数阶微分函数n(t)的图象的维数估计，以及Besicovitch函数图象的维数与分数阶微积分的关系。第三章计算Weierstrass函数的分数阶积分的精确Bouligand维数。第四章获得了Weierstrass函数的分数阶微积分的精确K—维数与Packing维数。主要定理有： (i)对于一类Weierstrass函数它的。阶分数阶积分函数是。(、):=D一“(w(，))=艺“k(“一，，又(。，“k)，o<。<1;户阶分数阶微分函数是n(‘):=D“(w(‘))=艺入k(，一‘)认(1一户，久k k>l0<井<1.我们有定理o·1设1<￡<2，o<夕<1，I=}o，z}，。(t)是w(，)的夕阶分数阶积分函数，则 dimor(夕，I)三5.其中r(f。刀表示函数f在区间I上的图象. 定理0.2设1<￡<2，o<夕<1，￡>1+。，或t)同定理0.1，则对于充分大的入>1，成立 dimor(g，I)=￡一。. (11)对于另一类weiertrass函数w(，)==艺久一aj sin(入，‘)，O<a<1，入>1它的。阶分数阶积分函数和赵阶微分函数分别定义为l(t):二又入一勺剐。，码，。<a十。<1 J全17n(t):==艺A(1一吻Ct(1一。，洲，0<。<。，0<a<1，入>1.对于图象的K一维数，我们获得如下结论定理0.3设。<a十。<1，I=[0，l]，l(t)是如上定义的分数阶积分函数，则dim、r(l，I)三2一a.定理0.4设。<a十“<1，I=dim、r(l，I)=2一a一。;{。，1}，当八>入。时，我们有dimKr(阴，刃=2一a十拜·111)考察如下的Besieoviteh函数刀(。)=艺入扩一，，sin入、才，1<。<2，入、户。我们定义它的分数阶积分函数和微分函数分别为。(，):一艺入穿一2，S:(。，入、)，O<。<1、(t):一又平‘，Ct(卜。，、、)，0<赵<1我们获得定理0.5如果如上定义的岭)满足久k+1户、全入、>1，无全1，1三“三2，O<。<1，则dim二r(b，I)三过立卫二r(b，I)兰1+1 im (s一1、In久。Int— (5一1)In入。+(2一s)In入。+l(iv)考察如(11)所述的分形函数，我们考虑它的:阶weyx一Marehaud分数阶导函数州约，获得:定理0.6设。<?<a<1，对久>场，我们有dim二r(尸，I)三dim、r(尹，I)=dim尸r(尸，I)=dimor(尹，I)=2一a+:.最后，对本方向的几个开问题作了一些介绍.

全文目录

中文摘要  4-8
英文摘要  8-12
第一章综合介绍  12-28
  1.1 分形与分形维数  12-15
  1.2 几个分形函数  15-18
  1.3 分数阶微积分  18-23
  1.4 研究回顾与问题  23-28
第二章关于几个分形函数的分数阶微积分:图象影响与维数初探  28-42
  2.1 关于一个分形函数的分数阶微积分函数  28-35
  2.2 分数阶微积分对一类Besicovitch函数的图象维数的影响  35-38
  2.3 关于一类Weierstrass函数的分数阶微积分:图象K-维数初步估计  38-42
第三章关于一类Weierstrass函数的分数阶积分:精确Bouligand维数  42-52
  3.1 引言与主要结果  42-43
  3.2 主要定理的证明  43-52
第四章 Weierstrass函数的分数阶微积分的K-维数与Packing维数  52-63
  4.1 关于图象维数的讨论  52-60
  4.2 几点注记  60-63
参考文献  63-70
致谢  70

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