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广义牛顿型算法求解两类离散非光滑问题

作　者: 孙哲
导　师: 曾金平
学　校: 湖南大学
专　业: 计算数学
关键词: 障碍问题 HJB方程广义牛顿法单调收敛
分类号: O241.82
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
下　载: 54次
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内容摘要

障碍问题和Hamilton-Jacobi-Bellman方程(简称HJB方程)问题产生于机械、工程技术、物理、金融、最优控制等领域.它们的数值解,尤其是大规模问题数值解的研究是工程界和计算数学界一个非常热门课题.近几十年来,取得了许多成果.既然障碍问题和HJB方程是两类典型的非光滑问题,在本文中,我们将研究求解这两类问题的广义牛顿型算法.在第2章,我们提出了广义牛顿Schwarz迭代法来求解离散的单边障碍问题.该算法的优点如下：(1)算法在每个牛顿迭代步,只采用有限步加性或乘性Schwarz迭代来求解一个低维线性方程组的近似解而不需要求解该线性方程组的精确解,从而可以大大减少计算工作量；(2)算法具有单调收敛性且在适当条件下超线性收敛到问题的解.此外,与其它具有单调收敛的Schwarz算法相比较,该算法的初始迭代很容易选取.在第3章,我们提出了求解离散HJB方程的广义牛顿法并证明了算法的单调收敛及局部超线性收敛性.该算法的优点是每个牛顿步只求解一个线性方程组从而便于采用线性方程组的快速求解器进行求解.特别地,我们验证了Lions以及Mercier于1980年提出的迭代格式Ⅱ是一类特殊的广义牛顿法,所以该迭代格式具有局部超线性收敛性.进一步,我们研究了求解离散HJB方程的广义牛顿迭代法.该算法在每个牛顿步均采用迭代法来求解线性子问题的一个近似解从而大大地减小了计算工作量.在适当的条件下我们证明了算法具有局部超线性收敛性.数值实验表明了算法是非常有效的.在第4章,我们研究了求解离散的双边障碍问题的阻尼广义牛顿法.与离散的单边障碍问题的情形相比,离散的双边障碍问题的求解难度更大.当采用古典的有效集策略或增广拉格朗日策略进行求解,常常得不到算法的单调收敛性.本章中,通过选取适当的初始迭代以及在每个迭代步选取一个适当的阻尼因子,我们证明了阻尼广义牛顿法是单调收敛的且具有有限步终止性.而且当问题退化为单边障碍问题时,阻尼广义牛顿法等价于古典的有效集策略算法(或增广拉格朗日策略算法).在第5章,我们提出了求解离散的双边障碍问题的阻尼广义牛顿迭代法.注意到在前一章中得到的阻尼广义牛顿法在每个牛顿步均需要求解一个低维的线性方程组.当离散问题的规模很大时,精确求解子问题需要很大计算工作量.为了减少计算工作量,本章中我们将在每个牛顿步均采用迭代法来求解线性子问题的一个近似解.在适当条件下,我们证明了算法是超线性收敛的.数值结果表明算法是十分有效的.此博士论文得到了国家自然科学基金(10671060,10971058)的资助.此博士论文用LATEX2ε软件打印.

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-11
第1章绪论  11-16
  1.1 概述  11-13
    1.1.1 障碍问题  11-12
    1.1.2 HJB方程  12-13
  1.2 创新点及主要内容  13
  1.3 记号及基本概念、性质  13-16
    1.3.1 记号  13-14
    1.3.2 基本概念、性质  14-16
第2章求解离散单边障碍问题的广义牛顿Schwarz迭代法  16-31
  2.1 引言  16-18
  2.2 Schwarz算法  18-20
  2.3 广义牛顿加性Schwarz法及其收敛  20-26
  2.4 广义牛顿乘性Schwarz法及其收敛  26-29
  2.5 数值试验  29-31
第3章求解离散HJB方程的广义牛顿型算法  31-47
  3.1 引言  31-33
  3.2 广义牛顿法及其收敛性  33-36
  3.3 广义牛顿迭代法  36-38
  3.4 广义牛顿迭代法的收敛性  38-41
  3.5 应用举例  41-43
  3.6 数值试验  43-47
第4章求解离散双边障碍问题的阻尼广义牛顿法  47-67
  4.1 引言  47-49
  4.2 阻尼广义牛顿法  49-52
  4.3 收敛性  52-61
  4.4 数值试验  61-67
第5章求解离散双边障碍问题的阻尼广义牛顿迭代法  67-81
  5.1 引言  67-68
  5.2 阻尼半光滑牛顿迭代法  68-70
  5.3 算法的收敛性  70-77
  5.4 数值实验  77-81
结论  81-83
参考文献  83-90
致谢  90-91
附录A 攻读学位期间完成和发表的学术论文目录  91

广义牛顿型算法求解两类离散非光滑问题

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