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图的电阻距离法则和Kirchhoff指标研究
作 者: 杨玉军
导 师: 张和平
学 校: 兰州大学
专 业: 应用数学
关键词: 电阻距离 Kirchhoff指标 Wiener指标 Laplacian谱 Nordhaus-Gaddum型结论 线性六角形链 简化原理
分类号: O157.5
类 型: 博士论文
年 份: 2009年
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内容摘要
连通图G的两个顶点i和j之间的电阻距离rij定义为用单位电阻来代替G中的每条边后相应构造出的电网络N中节点i和j之间的有效电阻.图G的Kirchhoff指标Kf(G)定义为G中所有点对之间的电阻距离之和.本文主要研究图的电阻距离和Kirchhoff指标.我们建立了关于电阻距离的一些法则,得到了线性六角形链和三种类型的合成图的Kirchhoff指标计算公式,确定了单圈图和Fullerene图的Kirchhoff指标的界,给出了Kirchhoff指标的一个新的Nordhaus-Gaddum型结论.全文共分七章.在第一章中,我们首先介绍了本文所需要的基本概念,术语和记号,然后指出本文所研究问题的物理化学背景,进而综述了该领域的研究进展和本文所得到的主要结论.受Klein的文章[Croat.Chem.Acta 75(2002)633-649]的启发,在第二章中,我们得到了图G的电阻距离的一些法则.设S是图的顶点集的子集,满足S中的所有点在G—S中有相同的邻集N.若|S|=2,3,4,应用这些法则,对应于G|S|的不同情况,我们给出了S中任意两点的电阻距离的简单计算公式,并且这些公式都可以用N的大小表示出来,这表明S中任意两点的电阻距离只依赖于G|S|和N的大小.自然地,一个问题就产生了:是不是当S包含任意多的顶点时这个性质也成立?对这个问题,我们给出了肯定的回答,也就是,我们得到了下面的简化原理:如果S(?)V满足S中的所有顶点在G-S中有相同的邻集N,则S中任意两点之间的电阻距离就等于在G[S∪N]中删除所有连接N中顶点之间的边后所得子图中这两点之间的电阻距离.在第三章中,首先我们根据Laplacian多项式分解定理得到线性六角形链Ln的Laplacian谱由路P2n+1的Laplacian谱以及一个2n+1阶三对角对称矩阵的所有特征值构成.接着,利用前面所说矩阵的特征多项式的根与系数的关系,我们得到了Ln的根据Laplacian谱得到的Kirchhoff指标的显式计算公式.有趣的是,Ln的Kichhhoff指标渐近于他的Wiener指标的一半.最后,对包含Ln的一类图,我们证明了对这类图中的每个图G都有Kf(G)/W(G)>1/5成立,其中W(G)表示图G的Wiener指标.设Snl是在圈Cl上的任意一个点上加n—l条悬挂边所构成的图.用Pnl表示将圈Cl的任意一个点和路Pn-1+1的一个端点粘接所构成的图.在第四章中,我们得到在所有顶点数为n的单圈图中,(ⅰ)若n<8,则Cn达到最小的Kirchhoff指标;若8≤n<12,则Sn4达到最小的Kirchhoff指标;若n=12,Sn3和Sn4同时达到最小的Kirchhoff指标;否则,Sn3达到最小的Kirchhoff指标;(ⅱ)Pn3达到最大的Kirchhoff指标.进而我们给出了单圈图的Kirchhoff指标的紧界.一个Fullerene图F是一个三连通,三正则平面图,它恰有12个五边形面,其它的面都是六边形.在第五章中,我们得到了平面图,特别是Fullerene图的Kirchhoff指标的界.令G1+G2,G1oG2和G1{G2}分别表示图G1和G2的联,冠和簇.在第六章中,我们得到了这些合成图的Kirchhoff指标计算公式.一个Nordhaus-Gaddum型的结论是指一个图和它的补图的某个参数的和或者乘积的(紧的)上界和下界.在最近文献[Chem.Phys.Lett.455(2008)120-123]中,周波和Trinajisti(?)给出了Kirchhoff指标的一个Nordhaus-Gaddum型结论.在第七章中,我们给出了Kirchhoff指标的一个新的Nordhaus-Gaddum型结论,改进了前者的工作.
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全文目录
摘要 4-6 ABSTRACT 6-11 第一章 引言 11-39 1.1 基本概念和记号 11-16 1.2 问题的研究背景 16-17 1.3 研究进展 17-28 1.3.1 一般计算公式 17-20 1.3.2 局部计算公式 20-21 1.3.3 特殊图的电阻距离和Kirchhoff指标计算公式 21-22 1.3.4 关于电阻距离的一些法则 22-24 1.3.5 电阻距离矩阵 24 1.3.6 电阻距离和图上的随机游动 24-25 1.3.7 图的Kirchhoff指标的界 25-28 1.3.8 其他方面的结果 28 1.4 本文主要结果 28-39 1.4.1 电阻距离的一些法则及其应用 28-33 1.4.2 线性六角形链的Kirchhoff指标 33 1.4.3 单圈图的Kirchhoff指标极值 33-34 1.4.4 Fullerene图的Kirchhoff指标的界 34 1.4.5 合成图的Kirchhoff指标 34-36 1.4.6 Kirchhoff指标的Nordhaus-Gaddum型结论 36-39 第二章 电阻距离的一些法则及其应用 39-55 2.1 引言 39-41 2.2 一般法则 41-43 2.3 其他法则及其应用 43-50 2.3.1 两个顶点的情形 43-44 2.3.2 三个顶点的情形 44-46 2.3.3 四个顶点的情形 46-50 2.4 简化原理 50-54 2.5 结束语 54-55 第三章 线性六角形链的Kirchhoff指标 55-71 3.1 引言 55-56 3.2 Laplacian多项式分解 56-57 3.3 线性六角形链的Kirchhoff指标 57-67 3.4 进一步推广 67-71 第四章 单圈图的Kirchhoff指标极值 71-83 4.1 引言 71-73 4.2 单圈图的Kirchhoff指标 73-74 4.3 (?)(n,l)的Kirchhoff指标的界 74-77 4.4 达到极值Kirchhoff指标的单圈图 77-80 4.5 后续工作及展望 80-83 第五章 Fullerene图的Kirchhoff指标的界 83-93 5.1 引言 83-84 5.2 平面图的Kirchhoff指标的界 84-87 5.3 Fullerene图的Kirchhoff指标的界 87-92 5.4 结束语 92-93 第六章 合成图的Kirchhoff指标 93-107 6.1 引言 93-94 6.2 主要结果 94-106 6.2.1 G_1+G_2的Kirchhoff指标 95-97 6.2.2 G_1 o G_2的Kirchhoff指标 97-102 6.2.3 G_1{G_2}的Kirchhoff指标 102-103 6.2.4 其他结果 103-104 6.2.5 一些例子 104-106 6.3 结束语 106-107 第七章 Kirchhoff指标的Nordhaus-Gaddum型结论 107-115 7.1 引言 107-108 7.2 预备知识 108-110 7.3 主要结果 110-113 7.4 一个猜想 113 7.5 结束语 113-115 参考文献 115-123 在读期间完成的主要论文 123-125 致谢 125
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