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Banach空间中半群的指数吸引子存在性及其应用的研究

作　者: 钟延生
导　师: 钟承奎
学　校: 兰州大学
专　业: 基础数学
关键词: 指数吸引子全局吸引子有界吸收集存在性问题可微性多项式增长不等式紧算子引理线性化
分类号: O152.7
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

这篇博士论文着重研究了在吸收集不具有紧性的条件下,Banach空间上指数吸引子的存在性问题.并讨论了含任意p次多项式增长的非线性反应扩散方程指数吸引子的存在性.设{Sⁿ}_n=1^∞为定义在Banach空间X上的离散半群,（?）为其吸引子.假设S在集合B_∈0（（?））上是C¹的,并且S在集合B_∈0（（?））上任意一点的线性化算子可以分解为紧算子K与压缩算子C（||C||<λ<1）之和,即L=K+C.则可以证明离散半群{Sⁿ}_n=1^∞存在指数吸引子M_d（定理3.1.1所述内容）.在证明离散半群存在指数吸引子M_d中我们注意到,当B_∈0（（?））是S的不变集,则对任意整数m≥1,由此选取合适的邻域（?）并在其上构造出{Sⁿ}_n=1^∞的指数吸引子.对于Banach空间X上的连续半群{S（t）}_t≥0,（?）为其吸引子.注意到对任意∈0>0存在T^*>0,使得S（T^*）:B_∈0（（?））→B_∈0（（?））.记S=S（T^*）,通过验证S是C¹的,首先得到离散半群{Sⁿ}_n=1^∞的指数吸引子M_d,然后根据[47]中第三章的办法构造出连续半群的指数吸引子M_c,见定理3.2.1.作为应用,考虑下面含任意p次多项式增长的非线性反应扩散方程指数吸引子的存在性:Ω（?）Rⁿ（n≥3）是有界光滑区域,p≥2,初始值u（0）∈L²（Ω）,外力项g∈L²（Ω）,且非线性项f∈C²满足我们在空间L^2p（Ω）证明了指数吸引子的存在性.这是用通常构造指数吸引子的办法不容易验证的.值得注意的是,我们通过平移S₁（t）（u₀-u^*）（?）S（t）u₀-u^*的办法证明了{S（t）}_t≥0在L^2p（Ω）上的可微性.其中u^*是以下椭圆方程的全局极小解:平移半群（?）（t）（?）S₁（t）（u₀-u^*）满足以下方程用Marion迭代的办法,可证明当t>0时,S₁（t）（u₀-u^*）∈L^∞（Ω）.这样通过将原系统作u^*到原点的平移,得到一个比较正则的系统.若能验证{S₁（t）}_t≥0所对的正则系统的可微性,由S₁（t）（u₀+υ₀-u^*）-S₁（t）（u₀-u^*）=（S（t）（u₀+υ₀）-u^*）-（S（t）u₀-u^*）=S（t）（u₀+υ₀）-S（t）u₀即可证明{S（t）}_t≥0的可微性.全文共分为四章:第一章:介绍了无穷维动力系统的发展进程,指数吸引子的存在性以及进展情形,详细介绍了本文的主要思想及所研究的主要问题.第二章:给出了本文所用到的一些基础知识.第三章:研究了吸收集不紧的情形下,Banach空间上的指数吸引子的存在性.第四章:利用第三章的理论证明方程（1）在空间L^2p（Ω）存在指数吸引子.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
记号  10-11
第1章综述  11-21
  §1.1 指数吸引子的已有理论、方法及其进展  12-16
  §1.2 本文的工作  16-19
  §1.3 展望  19-21
第2章准备知识  21-25
  §2.1 基本概念  21-23
  §2.2 常用不等式  23-25
第3章 Banach空间半群的指数吸引子  25-49
  §3.1 离散半群{S~n}_(n=1)~∞的指数吸引子  26-41
  §3.2 连续半群{S(t)}_(t≥0)的指数吸引子  41-45
  §3.3 半群的可微性  45-49
第4章含任意多项式增长的非线性反应扩散方程的应用  49-75
  §4.1 L(t~*)(?)S'(t~*):V(?)W(t~*),V,W(t~*)∈H_0~1(Ω)∩L~(2p)(Ω)  49-53
  §4.2 平移半群{S_1(t)}_(t≥0)在L~2(Ω)的余项估计  53-60
  §4.3 平移半群{S_1(t)}_(t≥0)在L~(2p)(Ω)的余项估计  60-64
  §4.4 半群{S(t)}_(t≥0)在L~(2p)(Ω)的指数吸引子  64-75
参考文献  75-89
在学期间的研究成果  89-91
致谢  91

Banach空间中半群的指数吸引子存在性及其应用的研究

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