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关于加倍测度和拟对称映射的若干研究

作　者: 彭峰集
导　师: 刘西民
学　校: 华南理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 加倍测度拟对称映射均匀Cantor集 Sierpi(?)ski地毯胖集瘦集
分类号: O174.12
类　型: 博士论文
年　份: 2011年
下　载: 35次
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内容摘要

在欧氏空间上,我们将集合按照其Lebesgue测度是否为零分成了两类：胖集和瘦集。设集合E(?)[0,1]n,称E为胖集,如果Ln(E)>0；称E是瘦集,如果Ln(E)=0,其中Ln(E)表示集合E的n维Lebesgue测度。然后我们又将胖集(或瘦集)各自分成了三个小类：非常胖(瘦)、相当胖(瘦)、有一点胖(瘦),其定义如下：设E是[0,1]n上的一个胖集,(1)称E是非常胖的,如果对所有[0,1]n上的加倍测度μ都有μ(E)>0；(2)称E是相当胖的,如果存在常数1<K1<K2<∞,任给[0,1]n上的K1-加倍测度μ,有μ(E)>0；但存在[0,1]n上的一个K2-加倍测度v,使得v(E)=0；(3)称E是有一点胖的,如果对任意K>1,存在[0,1]n上的一个K-加倍测度μ,使得μ(E)=0。对瘦集也有类似的分类。设E是[0,1]n上的一个瘦集,(1)称E是非常瘦的,如果对所有[0,1]n上的加倍测度μ都有μ(E)=0；(2)称E是相当瘦的,如果存在常数1<K1<K2<∞,任给[0,1]n上的K1-加倍测度μ,有p(E)=0,但存在[0,1]n上的一个K2-加倍测度v,使得v(E)>0；(3)称E是有一点瘦的,如果对任意K>1,存在[0,1]n上的K-加倍测度μ,使得μ(E)>0。在一维实直线上,我们研究了均匀Cantor集的胖性与瘦性。在二维平面上,我们研究了Sierpinski地毯的胖性与瘦性。本文主要分为两个部分。第一部分,即第三章,研究了一维实直线上的均匀Cantor集的胖性与瘦性。均匀Cantor集按照上面的分类方式可以分为六小类。Han-Wang-Wen[37]研究了非常胖和非常瘦这两小类均匀Cantor集,他们给出了均匀Cantor集非常胖和非常瘦的充要条件。由他们的结果得到启发,我们讨论了剩下的四小类均匀Cantor集,给出了均匀Cantor集相当胖、有一点胖、相当瘦、有一点瘦的充要条件。这样,均匀Cantor集的胖性与瘦性就得到了完整的刻画。我们得到了下面的结果：设E=E({nk},{ck})是一个胖的均匀Cantor集,则E是有一点胖的当且仅当对所有0<p<1,有∑k=1∞(nkck)p=∞；E是相当胖的当且仅当存在常数0<p<q<1,使得∑k=1∞(nkck)q<∞,且∑k=1∞(nkck)p=∞。另外,对瘦的均匀Cantor集也有类似的刻画。设E=E({nk},{ck})是一个瘦的均匀Cantor集,则E是有一点瘦的当且仅当对所有p>1,有∑k=1∞(nkck)p<∞；E是相当瘦的当且仅当存在常数1<p<q<∞,使得∑k=1∞(nkck)q<∞,且∑k=1∞(nkck)p=∞。第二部分,即第四章,研究了二维平面上的Sierpiriski地毯的胖性与瘦性。Sierpinski地毯的构造方法与中间区间Cantor集的构造方法是相似的。我们也将Sierpinski地毯分成了六小类：非常胖、相当胖、有一点胖、非常瘦、相当瘦和有一点瘦。我们给出了描述这六个小类的充要条件。我们得到了下面的结果：设S({mk})为一个胖的Sierpinski地毯,则S({mk})是非常胖的当且仅当对所有p∈(0,2),有∑k=1∞(mk-1)p<∞；S({mk})是相当胖的当且仅当存在常数0<p<q<2,使得∑k=1∞(mk-1)q<∞,但∑k=1∞(mk-1)p=∞；s({mk})是有一点胖的当且仅当对所有p∈(0,2),有∑k=1∞(mk-1)p=∞。对瘦的Sierpinski地毯我们也得到了类似的结果。设S({mk})为一个瘦的Sierpinski地毯,则S({mk})是非常瘦的当且仅当对所有p>2,有∑k=1∞(mk-1)p=∞；S({mk})是相当瘦的当且仅当存在常数2<p<q<∞,使得∑k=1∞(mk-1)q<∞,但∑k=1∞(mk-1)p=∞；S({mk})是有一点瘦的当且仅当对所有p>2,有∑k=1∞(mk-1)p<∞。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-9
目录  9-11
第一章引言及本文的主要结果  11-19
第二章预备知识及文献综述  19-39
  2.1 加倍测度  19-26
    2.1.1 加倍测度的定义及性质  19-21
    2.1.2 加倍空间的定义及性质  21-23
    2.1.3 加倍测度的存在性  23-24
    2.1.4 加倍测度的奇异性与绝对连续性  24-26
  2.2 拟对称映射  26-33
    2.2.1 一般度量空间上的拟对称映射  26-29
    2.2.2 实直线上的拟对称映射  29-31
    2.2.3 共形维数  31-33
  2.3 加倍测度和拟对称映射  33-39
    2.3.1 A_p-权  33-35
    2.3.2 度量加倍测度  35-39
第三章均匀Cantor集的胖性与瘦性  39-59
  3.1 相关概念及主要结果  39-47
    3.1.1 均匀Cantor集的构造及性质  39-44
    3.1.2 一维实直线上的胖集与瘦集的定义  44-46
    3.1.3 本章的主要结论  46-47
  3.2 主要结果的证明  47-57
    3.2.1 相关引理及其证明  47-54
    3.2.2 定理3.8的证明  54-56
    3.2.3 定理3.9的证明  56-57
  3.3 定理3.8和定理3.9的一些应用  57-59
第四章 Sierpinski地毯的胖性与瘦性  59-75
  4.1 相关概念及主要结果  59-63
    4.1.1 Sierpinski地毯的构造及性质  59-60
    4.1.2 二维平面上胖集和瘦集的定义  60-62
    4.1.3 本章的主要结论  62-63
  4.2 主要结论的证明  63-75
    4.2.1 相关引理  63-71
    4.2.2 定理4.4的证明  71-72
    4.2.3 定理4.5的证明  72-75
第五章若干尚待解决的问题  75-77
参考文献  77-85
攻读博士学位期间取得的研究成果  85-87
致谢  87

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