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法数量曲率猜想及相关问题的解决

作　者: 葛建全
导　师: 唐梓洲
学　校: 清华大学
专　业: 数学
关键词: DDVV猜想法数量曲率平均曲率 Wulff形
分类号: O186.12
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
下　载: 67次
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内容摘要

著名的法数量曲率猜想(也称DDVV猜想)断言空间形式中子流形的数量曲率、法数量曲率及平均曲率之间有一个点点不等式。它把子流形的内蕴量和外蕴量紧密地联系在一个最佳不等式中,很好地体现了子流形和外围流形之间的相互关系,从而在子流形几何中具有重要地位。巧合的是这个猜想的代数版本还在随机矩阵理论中具有重要地位,而且它的低阶情形在著名的数量曲率夹逼问题中也有重要应用。近年来有许多几何学家致力于对这个猜想的证明,并试图对等号处处成立的子流形进行刻画和分类,但仅得到一些低阶情形的部分结果。作为本文的主要结果之一,我们利用连续性方法完整地证明了这个猜想并给出等号在一点处成立的充分必要条件。应用相同方法我们还得到了一个与该猜想代数版本类似的最佳不等式及等号成立的充分必要条件。另外,我们利用活动标架法定义了一般子流形的“2p阶平均曲率”及“(2p+1)阶平均曲率向量场”,并给出一个积分公式把它们表示为子流形的主曲率的对称函数的平均值。法数量曲率猜想即为2阶平均曲率、1阶平均曲率向量场和法数量曲率之间的一个点点不等式,从而是一个局部问题。现在我们应用这个积分表达公式研究与各阶平均曲率相关的整体问题:(1)给出著名的法度定理和切度定理一个统一的几何证明,其中前者首先由S.S.Chern用几何的方法证明,而Lashof和Smale则用拓扑的方法证明了这两个定理;(2)给出著名的Gray-Weyl管道体积公式的简单直接的证明;(3)给出高余维子流形Minkowski型积分公式的管道化证明;(4)讨论了一类特殊变分问题,定义其临界点为管状极小子流形,并研究了它与Austere子流形之间的关系。最后,我们介绍了欧氏空间中超曲面的各阶各向异性平均曲率,证明了各向异性版本的Alexandrov-Reilly-Ros定理,即Wulff形是唯一的欧氏空间中具有常值的某阶各向异性平均曲率的嵌入闭超曲面,其中一阶情形肯定地回答了F.Morgan的一个公开问题。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-10
第1章引言  10-21
  1.1 问题背景和主要结果  10-19
    1.1.1 法数量曲率猜想进展概述  10-14
    1.1.2 子流形几何中各阶平均曲率相关问题  14-17
    1.1.3 Alexandrov-Reilly-Ros定理及其各向异性版本  17-19
  1.2 本文的结构安排  19-21
第2章基本理论  21-27
第3章法数量曲率猜想及其解决  27-45
  3.1 法数量曲率猜想的转化  27-28
  3.2 法数量曲率猜想的证明  28-36
    3.2.1 代数上的几个预备引理  28-31
    3.2.2 定理的证明  31-36
  3.3 法数量曲率猜想的反称矩阵版本  36-45
    3.3.1 几个预备引理  36-41
    3.3.2 定理的证明  41-45
第4章子流形的各阶平均曲率及其应用  45-59
  4.1 各阶平均曲率定义  45-46
  4.2 各阶平均曲率的积分表达公式  46-49
  4.3 各阶平均曲率的应用  49-59
    4.3.1 法度定理和切度定理  49-51
    4.3.2 Gray-Weyl管道体积公式  51-54
    4.3.3 子流形的Minkowski型积分公式  54-56
    4.3.4 管状极小子流形  56-59
第5章各向异性版本的Alexandrov-Reilly-Ros定理  59-72
  5.1 各阶各向异性平均曲率  59-61
  5.2 F焦点和F割点  61-66
  5.3 各向异性版本Alexandrov-Reilly-Ros定理的证明  66-72
    5.3.1 一个积分不等式  66-70
    5.3.2 定理的证明  70-72
第6章总结与展望  72-74
  1. 论文主要工作和总结  72
  2. 论文主要影响及展望  72-74
参考文献  74-78
致谢  78-79
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  79-80

法数量曲率猜想及相关问题的解决

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