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互反代数整数的最大模的最小值的相关研究

作　者: 李美霞
导　师: 吴强
学　校: 西南大学
专　业: 基础数学
关键词: 互反多项式 代数整数的最大模 LLL算法 辅助函数 半无限线性规划
分类号: O156
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 15次
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内容摘要


多项式的Mahler测度指的是它的所有模大于1的根与其首项系数的乘积的绝对值．而代数整数的最大模问题是与Mahler测度相关的计算数论中的又一大课题．代数整数α的最大模（?）指的是它的所有共轭根的模的最大值，又被形象地称为代数整数α的房子．即对d次代数整数α，α1=α，α2，…，αd是它的所有共轭根，则（?）=max1≤i≤d|αi|．如果一个代数整数的极小多项式是互反的，也称这个代数整数是互反的．不妨设互反代数整数α的极小多项式P为：P=b0x2d+b1x2d-1+…+b2d-1x+b2d=sum from i=1 to 2d（x-αi）．其中b0=b2d=1，bi=b2d-i.我们定义s1=sum from i=1 to 2dαi，sk=sum from i=1 to 2dαik．对于互反代数整数的最小房子问题，Boyd[1]计算出了次数d≤16的非单位根的代数整数的最小房子．他在计算中用到的方法是：对固定的次数d，他给定界B，使得存在d次的互反代数整数α满足（?）≤B．如果（?）≤B，显然有|sk|≤dBk．他应用sk的这些界和牛顿公式：sk+sk-1b1+…+s1bk-1+kbk=0归纳给出系数bk的范围，从而得到一个d次的所有（?）≤B的互反多项式构成的集合Fd，再进一步找出最小房子．若沿用Boyd的方法，随着互反代数整数的次数d的变大，计算时间会急剧增加．因而在本文中，我们借助具有下面形式的辅助函数：f（z）=-Re（z）-sum from j=1 to J ej log|Qj（z）|得到sk更好的界．此方法曾经在[10]中用到过，我们应用此方法把互反代数整数的最小房子计算到了26次[19]．

全文目录


摘要  4-5
ABSTRACT  5-7
第1章 绪论  7-11
第2章 基础知识  11-15
  2.1 多项式和代数整数  11-13
  2.2 半无限线性规划法  13-15
第3章 LLL算法  15-20
  3.1 LLL算法的介绍  15-18
  3.2 LLL算法的应用  18-20
第4章 关于互反代数整数的最小最大模的研究  20-36
  4.1 互反代数整数的最小最大模的计算  20-26
  4.2 较小最大模的多项式的研究  26-30
  4.3 辅助函数的构造  30-36
结语  36-37
参考文献  37-39
感谢  39

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 数论
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