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辛子流形

作　者: 孔令辉
导　师: 王宏玉
学　校: 扬州大学
专　业: 应用数学
关键词: 子流形余维数辛流形复流形开子集辛结构上同调子空间切空间存在性证明
分类号: O189.33
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
下　载: 19次
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内容摘要

这篇文章中,我们将给出一种构造辛子流形的一般方法,思想来源于Donaldson关于余维数为2的辛子流形的存在性证明.一般的余维数是高维的复子流形是很难理解的,但是余维数是1维的复子流形是很好理解的,我们可以通过线丛,线性系统和上同调这些熟悉的方法把这个问题线性化.这篇文章的思想是把复几何中的这些工具发展到一般的辛流形上.我们要证的主要结论是下面的存在性定理.定理1:假设（V ,ω）是维数为2n的紧的辛流形,并且de Rham上同调[ω/2π]∈H2 （V;R）落在整格H 2 （V;Z）/Torsion中.设h∈H2 （V;Z）是[ω/2π]到可积丛的一个提升,则对充分大的整数k , H 2 n? 2（V;Z）中kh的庞加莱对偶可以由辛子流形W ? V得到.我们将解释定理证明中的一些重要思想,并且把结论用公式表达出来.设有标准的度量和辛形式ω,G是C n中可定向的实的2n-2维平面的Grassmannian流形.记G⁺ （?）G是辛（2n-2）平面Π的开子集,相对于Π上的定向,ω^n-1限制在Π上是正的.显然G⁺只由Cⁿ上的辛结构决定.给定一个度量,在每个子空间上有一个体积形式Ω_Π.我们可以定义一个映射“kahler角”复线性子空间就是满足0（n）=0的解，所以0就测量了那些不能形成复线性子空间的数量.现在假设C”上的一个线性子空间n是由一个实线性映射A:C”→C的核得到的.我们记A = a’ +a" ,其中a ’是复线性的, a "是复反线性的,|a’|,|a"|是由Hermitian度量决定的标准范数.通过一些简单的计算可得到: 1.除了对某个实数α,满足（a"|-） = ei^αa’以外, A都有实秩2. 2.若A有实秩2,Π=ker（A） ,则tan（（））θΠ=我们可以得到所以这个比值就控制了核成为一个复线性子空间的偏差.为了以后的证明,我们需要下面重要的结论:性质2:假设α’ ,α":Cn→C分别是复线性与反线性的映射,且a ’ ’< a’ ,则子空间ker（α’+ a "）?Cn是辛的.现在考虑带有相容近复结构的辛流形（V ,ω） ,设ω（?）V是一个实的余维数为2的子流形.在V的切空间W上应用上面的结论,我们可以在W上的每一点定义一个数θp（W） ,这就测量了W不能成为伪全纯子流形的程度.假设L→V是一个复线丛,s是ξ的一个光滑截面。导数▽s在s的零集上有好的定义且可以分成复线性与反线性两部分（?）s , （?）s ,如果我们可以得到?s <?s在零集上的每一点都成立,则这个零集V中辛的余维数为2的子流形,且带有定向相容的辛结构.零集的同调类就是L的第一陈示型类的庞加莱对偶.这就是我们构造辛子流形的方法.然而实际上我们可以得到更多的东西,设在定理1的条件下,存在一个V上的线丛使得c1 （L）=h是[ω2π]的一个整数提升.我们可以赋予L一个曲率形式为-iω的酉联络,虽然这个联络没有包含在下面主要结论（定理3）中,但是在整个证明过程中起了很大的作用.定理3:设L→V是一个带有相容近复结构紧的辛流形V上的复线丛,且c₁ （L）=[ω/2π] ,则存在一个常数C ,当k很大时,在s的零集上有一个L^?k的截面满足这个定理3和性质2就得出了定理1.

全文目录

中文摘要  3-6
英文摘要  6-9
1 准备知识  9-13
2 局部理论  13-17
3 整体构造  17-27
4 进一步的结论  27-30
参考文献  30-31
致谢  31

辛子流形

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