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基于分块插值多项式的二维第二类Fredholm积分方程的快速解法

作　者: 梁芬
导　师: 林福荣
学　校: 汕头大学
专　业: 应用数学
关键词: Fredholm积分方程 数值解 多项式插值 逼近矩阵 预处理算子
分类号: O241.4
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要


在本文中，我们提出一种求解核函数光滑的二维第二类Fredholm积分方程f（x，y）-integral formαtoβintegral formαtoβ（a（x，y，u，v）f（u，v）dudv）=g（x，y），（x，y）∈[α，β]×[α，β]的数值解快速算法，其中a（x，y，u，v）是光滑函数，而g（x，y）在L2[α，β]2中。用数值积分方法离散积分方程，可得线性方程组（I-AWt）f=g其中I是单位矩阵，A=[A（i，j）]i，j=1N，A（i，j）=[a（xi，xk，xj，xl）]k，l=1N，α≤x1＜x2＜…＜xN≤β是离散节点，而Wt是取决于所用数值积分方法的对角矩阵。我们考虑四个变量的函数的插值：把区域[α，β]4分成相同的子区域，在每个子区域上核函数a（x，y，u，v）用插值多项式进行逼近，在插值多项式逼近的基础上导出矩阵-向量相乘的快速算法，并构造有效的预处理算子。因此，可以用诸如剩余向量校正（RC）等预处理迭代方法，快速地求解积分方程。我们接着分析逼近的误差和迭代方法的收敛性。可以证明逼近的精度达到O(（mn）-klog4n)，其中n是用于逼近的插值多项式的阶数，m是在每个方向上分的块数，而k显示着核函数的光滑程度。我们还讨论了算法的存贮要求和每步迭代所需要的计算量。我们构造矩阵A的两个逼近矩阵Aa和Ba（计算量都是O（N2））并使用如下的迭代方法（I-BaWt）f（q+1）=（Aa-Ba）Wtf（q）+g，q=0，1，2，…我们证明矩阵-向量乘法Aay和求解（I-BaW）r=y都只要O（N2）的计算量。这样每次迭代的计算量也为O（N2）。存贮量大约为O（N2），与A的元素个数的平方根成正比。最后，我们用数值例子来展示算法的效率和精度。

全文目录


ABSTRACT  4-6
中文摘要  6-8
PREFACE  8-9
CHAPTER 1 Introduction and Background  9-16
  1.1 Basic Concepts of Integral Equation and Related Theorems of Numerical Quadrature  9-12
    1.1.1 Basic Concepts of Integral Equation  9-10
    1.1.2 Related Theorems about Numerical Quadrature  10-12
  1.2 Introduction on Iterative Methods for Linear Systems  12-13
  1.3 Approximation Matrices  13-14
  1.4 Recent Development of Fast Algorithms  14-16
CHAPTER 2 A Fast Numerical Solution Method  16-39
  2.1 Interpolation of Multi-variable Functions  17-29
    2.1.1 Interpolation  18-19
    2.1.2 The Piece-Wise Polynomial Interpolation  19-26
    2.1.3 Error Estimation  26-29
  2.2 Fast Algorithms for Integral Equations  29-36
    2.2.1 The Construction of Approximation Matrix  29-34
    2.2.2 Implementation and Complexity Analysis  34-36
  2.3 Numerical Examples  36-38
  2.4 Concluding Remarks  38-39
REFERENCES  39-41
ACKNOWLEDGEMENTS  41

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 数值积分法、数值微分法
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