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再生核空间上的基与框架

作　者: 张立刚
导　师: 邓彩霞
学　校: 哈尔滨理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 再生核框架多分辨分析正交基
分类号: O177.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 17次
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内容摘要

框架是表示Hilbert空间元素的工具,可以看成是基底的推广,与基底不同的是,框架不要求元素线性无关,因此分解系数不是唯一确定的。从自然界来讲,框架表示空间的元素比基底表示空间的元素更自然、更广泛。由于框架与Riesz基有一定的冗余性,可以使得在低精度下获得的小波系数却可以在相对高的精度下重建,所以近年来关于框架的研究成为小波研究的热点之一。目前,框架是应用广泛、生气勃勃的一个数学研究方向,也是图像处理,数字通讯等信息科学的重要工具之一。尤其是在信号消噪、特征提取、处理等方面应用日益广泛。本文在前人的基础上,主要研究了两个方面的内容:1.利用再生核空间的再生性质,证明在满足一定条件下,小波空间和多分辨分析的子空间均为再生核空间,由小波函数和尺度函数构造再生核,进而利用该再生核构造空间的框架,给出基于小波框架下Hilbert空间的再生核,并构造出再生核形式的框架表达,并具体地得到框架的上、下界,从而为该空间利用框架对信号进行分解和重构提供了极大的方便。2.针对再生核空间,从框架算子出发,进而讨论了基、标准正交基与框架的关系,利用再生核函数,讨论了框架性质,给出了再生核空间框架的一种构造方法。这些工作有利于在再生核空间中做数值分析和函数逼近,本文中构造的框架能够为再生核空间信号分解和重构提供良好的条件,对于一般空间中框架的构造具有一定的参考价值。

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-9
第1章绪论  9-13
  1.1 框架研究的背景和现状  9-10
  1.2 再生核理论发展概况  10-12
  1.3 本课题研究的目的和意义  12
  1.4 主要内容  12-13
第2章预备知识  13-20
  2.1 从Fourier 变换到小波分析  13-14
  2.2 多分辨分析  14-17
  2.3 再生核的定义及性质定理  17-19
    2.3.1 再生核定义  17
    2.3.2 再生核的有关定理  17-19
  2.4 本章小结  19-20
第3章基于小波变换的再生核空间及其框架  20-28
  3.1 引言  20
  3.2 框架定义及其相关性质  20-22
  3.3 基于尺度空间框架的再生核  22-23
  3.4 基于小波空间框架的再生核  23-25
  3.5 尺度空间中框架的显式结构  25-27
  3.6 本章小结  27-28
第4章再生核空间上的基与框架  28-36
  4.1 引言  28
  4.2 再生核空间中基与框架的关系  28-33
  4.3 再生核空间中框架的构造  33-35
  4.4 本章小结  35-36
结论  36-37
参考文献  37-41
攻读硕士学位期间发表的论文  41-42
致谢  42

再生核空间上的基与框架

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