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鞍点逼近方法及在CDO定价中的应用

作　者: 王晓贞
导　师: 栾贻会
学　校: 山东大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 鞍点逼近 累积量生成函数 CDO系列函数
分类号: O212.7
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要


Daniels（1954）提出了一种非常有效的统计近似方法一鞍点逼近，来近似随机变量的均值，以及相互独立随机变量比率的密度。随后的几十年中，鞍点逼近方法得到了长足的发展．特别是Lugannani＆Rice（1980）提出了用鞍点逼近方法，近似计算样本均值的尾概率后，鞍点逼近方法被越来越多地引用到统计的计算问题中去，如假设检验p值的计算，M估计、L估计的计算等．总体上说，鞍点逼近主要有两方面应用：其一，统计量的精确密度函数难以得出，或者形式过于复杂，这时候就可以用鞍点逼近得到近似密度，大量的实例表明鞍点逼近即使在小样本的场合下也近似的非常好；其二，如果只关心统计量的尾概率，比如求某些统计量的p值，那么就可以用鞍点逼近的Lugannani＆Rice（1980）、Wood，Booth＆Butler（1993）、Terrell（2003）等一系列方法来对尾概率做近似，效果都非常好．鞍点逼近以其优良的精度，一直受到众多学者的青睐，Yang，Hurd＆Zhang（2006）将其运用到金融产品CDO（collateralized debt obligation）的定价中去．通过建立了一个标的资产损失的概率模型，在独立性的假设下，计算CDO的系列函数，即资产损失随机变量的1-CMF（1 order conditional moment function），然后通过copula模型将独立性假设条件去掉，最后代入定价公式实现对CDO产品的定价。由于CDO结构的复杂性，只有在少数特殊情形下，才能够精确计算CDO的系列函数，而在大部分情形下很难得其精确值，因此需要进行近似计算．尽管经典鞍点逼近方法不解决此类问题，但同样作为有关累积量生成函数的积分，Yang，Hurd＆Zhang（2006）将其化为记直接将MK（T）-2logT看做一个累积量生成函数，用二阶鞍点逼近对G1（x）做近似，得其中MK（T）为L的累积量生成函数，T0为鞍点方程MK’（T）-x-2／T=0的根。我们知道，使用鞍点逼近方法，首先是要根据随机变量自身的特征来选取鞍点，Yang，Hurd&Zhang（2006）中的鞍点方程，需要用数值计算方法才能求解．本文采用另外一种鞍点逼近方法，鞍点T0可以直接由得出，进而得到G1（x）的近似其中MK（T）为L的累积量生成函数，φ（·）分别为标准正态的密度函数，T0为鞍点方程MK’（T）-x=0的根，通过模拟计算验证到，这种近似方法在某些情形下，得到的结果比Yang，Hurd＆Zhang（2006）更精确．

全文目录


中文摘要  6-8
英文摘要  8-10
第一章 前言  10-13
  1.1 鞍点逼近方法概述  10-11
  1.2 CDO系列函数的近似计算  11-13
第二章 鞍点逼近方法  13-29
  2.1 预备知识  13-16
    2.1.1 特征函数、逆转公式  13-14
    2.1.2 矩母函数、累积量生成函数  14-15
    2.1.3 鞍点  15
    2.1.4 积分近似的Laplace方法与越过法  15-16
  2.2 样本均值的鞍点逼近  16-20
    2.2.1 样本均值的逆转公式  16-17
    2.2.2 样本均值的鞍点逼近  17-18
    2.2.3 鞍点逼近与中心极限定理  18
    2.2.4 鞍点方程的实数根  18-19
    2.2.5 鞍点逼近的正则化  19-20
  2.3 鞍点逼近为精确密度的条件  20-22
    2.3.1 对逆转公式积分近似的另一种方法  20-21
    2.3.2 鞍点逼近为精确密度的条件  21-22
  2.4 鞍点逼近在尾区域的精确性  22-27
    2.4.1 鞍点逼近的误差在尾区域一致有界的条件  22-23
    2.4.2 用鞍点逼近近似样本均值的尾概率  23-26
    2.4.3 尾概率鞍点逼近的其他形式  26-27
  2.5 离散型随机变量的鞍点逼近  27-29
    2.5.1 离散型随机样本均值分布率的鞍点逼近  27-28
    2.5.2 离散型随机变量尾概率的Lugannani&Rice公式  28-29
第三章 鞍点逼近方法的应用  29-43
  3.1 Laplace方法的一些应用  29-32
    3.1.1 Laplace方法近似边际密度  29-30
    3.1.2 Laplace方法近似卷积公式  30-31
    3.1.3 Laplace方法在极大似然估计中的应用  31-32
  3.2 用鞍点方法近似复杂分布的密度  32-38
    3.2.1 随机变量之和密度函数的鞍点逼近  32-34
    3.2.2 随机变量比率密度函数的鞍点逼近  34-36
    3.2.3 极大似然估计的鞍点逼近  36-38
  3.3 用鞍点逼近方法近似复杂尾概率  38-43
    3.3.1 正态随机变量二次型的尾概率  38-39
    3.3.2 鞍点逼近在估计方程中的应用  39-40
    3.3.3 条件分布的鞍点逼近  40-43
第四章 鞍点逼近方法在CDO定价中的应用  43-52
  4.1 CDO的结构  43-47
    4.1.1 标的资产损失的概率模型  44-45
    4.1.2 CDO的一个定价模型  45-46
    4.1.3 定价公式数值计算中的问题  46-47
  4.2 鞍点逼近方法的应用  47-52
    4.2.1 另外一种鞍点逼近方法的应用  47-49
    4.2.2 模拟计算  49-52
参考文献  52-54
致谢  54-55
学位论文评阅及答辩情况表  55

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 概率论与数理统计 > 数理统计 > 非参数统计
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