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变系数椭圆型微分方程边值问题的变分不等式研究

作　者: 李绕
导　师: 陈一鸣
学　校: 燕山大学
专　业: 计算数学
关键词: 变系数椭圆型方程边值问题 变分不等式 解的存在唯一性 有限元法 边界元法 误差估计
分类号: O175.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 58次
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内容摘要


工程实际中的许多问题均可转化为椭圆型微分方程边值问题。近几年发展起来的变分不等式方法为此类问题的求解提供了统一的框架和有力的工具,它将所有的边界条件和接触条件归纳到一个变分不等式中,更加便于理论分析。变分不等式的数值解法主要有有限差分法、有限元法和边界元法。国内外关于求解椭圆型微分方程边值问题数值方法的研究很多,但大多是针对常系数的微分方程问题进行的,对变系数问题的讨论很少。论文首先研究了利用Laplace方程的基本解求解二维非齐次Helmholtz方程边值问题的边界元法,然后讨论了含变系数的椭圆型微分方程边值问题,通过将其转化为变分不等式问题进行研究,证明了其解的存在唯一性,并利用有限元法离散变分不等式,研究了解的稳定性及误差估计。论文共分为五章。第一章主要概述了变分不等式、有限元法和有限元法求解椭圆型变分不等式的现状,介绍了目前国内外学者的研究动态。第二章在Sobolev空间中给出了一整套理论基础,如边值问题的变分原理、广义导数、Lax-Milgram定理、嵌入定理与迹定理、等价模定理、有限元离散的相关知识等。第三章以有广泛应用背景的Helmholtz方程为研究对象,给出了其边界元数值解法。内容展现了应用边界元法数值求解实际问题的一般过程。最后通过数值算例验证了方法的可行性。第四章讨论了与变系数椭圆型微分方程边值问题相等价的变分不等式问题,证明了解的存在唯一性。最后对该变分不等式中的不可微项采用正则化处理,利用可微函数将其转化为了变分方程问题。第五章应用有限元离散技术对上述变分方程进行了数值逼近,并对解的稳定性及误差估计做出了分析。

全文目录


摘要  5-6
Abstract  6-10
第1章 绪论  10-18
  1.1 变分不等式简介  10-11
  1.2 变分不等式的研究进展及现状  11-13
  1.3 有限元法离散求解变分不等式的研究现状  13-14
  1.4 边界元法简介  14-16
  1.5 课题来源及意义  16-17
  1.6 论文的主要工作及结构安排  17-18
第2章 理论基础  18-32
  2.1 边值问题的变分原理  18-19
    2.1.1 可微二次凸泛函的极小化问题  18-19
    2.1.2 不可微凸泛函的极小化问题  19
  2.2 Sobolev 空间初步  19-26
    2.2.1 广义导数  19-20
    2.2.2 Sobolev 空间  20-22
    2.2.3 Lax-Milgram 定理  22-23
    2.2.4 嵌入定理与迹定理  23-25
    2.2.5 等价模定理  25-26
    2.2.6 Sobolev 空间中的Green 公式  26
  2.3 有限元离散  26-31
    2.3.1 有限元空间及其性质  26-28
    2.3.2 椭圆边值问题的有限元逼近  28-31
  2.4 本章小结  31-32
第3章 求解二维非齐次Helmholtz 方程的边界元法  32-42
  3.1 边界元方法基础  32-35
    3.1.1 基本解  32-33
    3.1.2 积分方程及边界积分方程  33-34
    3.1.3 离散积分方程  34-35
  3.2 问题的提出  35-36
  3.3 边界元法耦合求解的建立  36-39
    3.3.1 积分方程及边界积分方程  36
    3.3.2 离散积分方程耦合求解边值问题  36-39
  3.4 数值算例  39-40
  3.5 本章小结  40-42
第4章 变系数椭圆边值问题的变分不等式  42-56
  4.1 问题的提出  42-45
  4.2 等价性证明  45-48
  4.3 问题的简化  48-50
  4.4 解的存在唯一性  50-52
  4.5 正则化方法  52-54
  4.6 小结  54-56
第5章 变分不等式的有限元逼近及误差估计  56-62
  5.1 问题的提出  56-57
  5.2 有限元逼近格式及稳定性分析  57-58
  5.3 误差估计  58-61
  5.4 本章小结  61-62
结论  62-64
参考文献  64-70
攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果  70-71
致谢  71-72
作者简介  72

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 边值问题
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