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Bernoulli移位细胞自动机的符号动力学研究

作　者: 陈方方
导　师: 陈芳跃
学　校: 浙江师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 细胞自动机符号动力系统 Bernoulli移位转移矩阵拓扑熵混沌
分类号: O189.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 43次
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内容摘要

由计算机创始人John von Neumann提出的细胞自动机（Cellular Automata,CA）是一种时间、空间和状态都离散的数学模型.从数学角度看,CA是与连续Cantor映射动力学系统相对应的离散动力学系统.通过设计不同的局部规则,CA可以展现无限的多样性和复杂性,产生复杂的动态交互和自我复制现象,即使是最简单的基本细胞自动机（Elementary CA,ECA）也具有丰富而复杂的动力学性质.同时,CA又具有适合超大规模集成电路（VLSI）上实现的并行信息处理结构,被广泛应用于社会学、生物学、生态学、信息科学、计算机科学、数学、物理学、化学、军事学等不同领域.符号动力学是研究动力系统动力学行为的一个重要工具.近年来基本细胞自动机全局映射的符号动力学行为的研究得到了发展,成果比较丰富.例如,关于加性的、满的、等度连续的、正扩张的以及置换的细胞自动机的动力学行为分析相对比较完整.但是,仍然有许多全局映射（尤其是具有普适性的细胞自动机）的符号动力学行为还知之甚少,特别是一些重要的拓扑性质,比如拓扑熵、敏感依赖性、拓扑混合性等.本文将细胞自动机的构形与双边无穷符号序列建立起联系,在符号动力系统的框架下研究细胞自动机的符号动力学性质.因此,本文选取了三个代表性Bernoulli移位规则119,88和25作为研究对象,利用符号动力系统理论,得到了适用于研究Bernoulli移位规则动力学性质的一些方法,并揭示了这类规则丰富复杂的动力学性质.本文第二章首先从符号动力学角度讨论了119号规则的复杂动力学行为.借助于有限型子移位相关理论,证明了119号规则的全局映射f₁₁₉具有一个Bernoulli移位的全局吸引子,并且f₁₁₉在全局吸引子上是拓扑混合的,以及f₁₁₉在全空间上的拓扑熵大于零.因而f₁₁₉在全局吸引子上具有Li-Yorke意义和修改的Devaney意义下的混沌.其次考虑全局映射f₈₈的符号动力学性质.不同于119号规则,第三章首先严格地找出f₈₈在双边无穷符号序列空间中的三个不同Bernoulli移位行为的不变集以及它们之间的关系.随后构造反例,证明了这三个不变集的并集不是全局吸引子.利用转移矩阵和拓扑共轭关系,本章分析了三个子系统的拓扑熵、拓扑混合性等动力学性质,得到f₈₈在Li-Yorke意义下混沌.第四章扼要地分析了f₂₅的动力学行为.讨论了三个不同Bernoulli移位子系统的关系,同时计算出它们的拓扑熵.借助子系统的性质,得到f₂₅在Li-Yorke意义下混沌.最后一章则对全文作—扼要总结和进一步研究作—展望.

全文目录

摘要  3-5
ABSTRACT  5-7
目录  7-9
1 绪论  9-16
  1.1 细胞自动机的研究背景与发展现状  9-12
  1.2 符号动力系统的基本定义和概念  12-13
  1.3 基本细胞自动机的基本概念  13-14
  1.4 论文主要内容及结构  14-16
2 119号规则的符号动力学性质  16-23
  2.1 f_(119)的全局吸引子  16-18
  2.2 f_(119)的符号动力学性质分析  18-23
3 88号规则的符号动力学性质  23-34
  3.1 f_(88)的三个Bernoulli移位子系统  23-28
    3.1.1 三个移位子系统  23-26
    3.1.2 子系统之间的关系  26-28
  3.2 f_(88)的符号动力学性质分析  28-34
    3.2.1 子系统f_(88)|Λ_(88)~1的符号动力学性质分析  28-29
    3.2.2 子系统f_(88)|Λ_(88)~2和f_(88)|Λ_(88)~3的符号动力学性质分析  29-34
4 25号规则的符号动力学性质  34-40
  4.1 f_(25)的三个Bernoulli移位子系统  34-36
  4.2 f_(25)的符号动力学性质分析  36-40
    4.2.1 子系统f_(25)|Λ_(25)~1的符号动力学性质分析  36-37
    4.2.2 子系统f_(25)|Λ_2和f_(25)|Λ_3的符号动力学性质分析  37-40
5 总结与展望  40-42
  5.1 总结  40
  5.2 展望  40-42
参考文献  42-46
附录  46-52
致谢  52-53
在学期间的研究成果及发表的论文  53-56

Bernoulli移位细胞自动机的符号动力学研究

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