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两类约束矩阵方程的解及最佳逼近问题

作　者: 高红桃
导　师: 尤传华
学　校: 兰州大学
专　业: 计算数学
关键词: 约束矩阵方程 (R，S)对称矩阵 (R，S)反对称矩阵 Frobenius范数广义奇异值分解迭代算法极小范数解最佳逼近
分类号: O241.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 41次
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内容摘要

在给定特殊矩阵集合中,求矩阵方程的解,即为约束矩阵方程问题.在本文中,我们介绍了（R,S）对称矩阵,（R,S）反对称矩阵的概念及结构.在这些特殊矩阵集合中,我们运用矩阵广义奇异值分解,得到了矩阵方程AXB=C的（R,S）反对称解;通过构造一种有效的迭代算法,得到了矩阵方程AXB+CYD=E的（R,S）对称解,同时考虑了相应的最佳逼近问题.根据（R,S）反对称矩阵的性质,我们得到了矩阵方程AXB=C有（R,S）反对称解的充要条件,并给出了一般解的表达式,在此基础上,对任意给定的矩阵X^*∈C^m×n,我们给出了最佳唯一逼近解（?）∈S_E及其表达式.针对求解AXB+CYD=E迭代算法,我们证明了,在不考虑机器误差的情况下,对任意初始迭代矩阵对[X₁, Y₁],矩阵方程的解[X, Y]可以经过有限步迭代得到,且矩阵方程AXB+CYD=E的相容性能够自动判断.如果取特殊形式的[X₁, Y₁]（比如X₁=0,Y₁=0）,则由迭代算法得到的解是矩阵方程的极小范数解.另外当上述方程相容时,在这些矩阵的解集中,对于任意给定矩阵对[X^*, Y^*]的最佳逼近解[（?）, （?）],可以通过求解新的约束矩阵方程A（?）B+C（?）D=（?）极小范数解[（?）^*, （?）^*]得到（利用上述迭代解法）,其中（?）= X-X^*, （?） = Y-Y^*,（?） = E-AX^*B-CY^*D,从而（?）=（?）^*+X^*, （?） = （?）^*+Y^*.对于迭代算法,我们给出数值例子,说明该算法的可行性和有效性.

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-7
第一章绪论  7-10
  1.1 概述  7
  1.2 所用记号  7-8
  1.3 定义  8
  1.4 本文主要解决问题  8-10
第二章预备知识  10-14
  2.1 矩阵的Moore-Penrose广义逆及有关性质  10-11
  2.2 Kronecker积的性质及其与矩阵方程的关系  11
  2.3 对合矩阵R,S的性质  11-13
  2.4 一个重要定理——最佳逼近定理  13
  2.5 矩阵空间R~(m×n)和(?)~(m×n)的关系及迹的性质  13-14
第三章问题Ⅰ和问题Ⅱ的解  14-19
  3.1 问题Ⅰ的解  14-16
  3.2 问题Ⅱ的解  16-19
第四章问题Ⅲ和问题Ⅲ的解  19-40
  4.1 问题Ⅲ的迭代算法及性质  19-27
  4.2 问题Ⅲ的求解  27-28
  4.3 问题Ⅲ、Ⅲ的数值例子  28-40
第五章结论及展望  40-41
参考文献  41-46
致谢  46

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