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非线性发展方程的守恒律的若干构造方法及其应用

作　者: 冯玮
导　师: 屈长征
学　校: 西北大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性发展方程(组) 对称群守恒律 Noether定理
分类号: O175.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 81次
引　用: 1次
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内容摘要

守恒的思想认为大自然是周而复始,无限循环的。本质上,守恒源于对称,这也使得人类对于对称和守恒的认识也逐渐从表面深入到内部,对称和守恒也经历了从分立走向综合的漫长发展历程,对微分方程的研究守恒律起到重要作用,特别是在微分方程的可积性,线性化,运动常数方面,甚至在求微分方程的解析解和数值解方面。因此,如何构造微分方程的守恒律就成为相当重要的话题。众所周知,Noether定理对研究微分方程的守恒律起着非常重要的作用,它深刻揭示了力学系统的守恒量与其内在的对称性的关系。因此Noether定理就成为构造守恒律的经典方法。然而,对Euler-Lagrange方程的限制严重制约了Noether定理的应用性。如,对于发展方程,以及奇数阶方程等,Noether定理却不能构造出他们的守恒律。为了解决这一难题,自然地基于Noether定理的各种各样的构造方法形成。如:特征法,变分法,直接构造公式,截断Noether方法,以及伴随方程方法等等。本文第一章介绍了守恒律的基本知识以及文中采用的符号。第二章详细介绍了九种构造守恒律的方法。第三章中利用上一章中介绍的方法分别求解了非线性Schr(o|¨)dinger方程,Fujimoto-Watanabe方程,Maxwellian模型方程,Black-Scholes方程,五阶色散方程等方程的守恒律。利用不同的方法得到了这些方程的新的守恒律,所得的结果为对这些方程进行更深刻的讨论提供了有效信息。最后给出了本文的结论和需要进一步研究的问题。

全文目录

中文摘要  3-4
Abstract(英文摘要)  4-8
第一章绪论  8-14
  §1.1 引言  8-10
  §1.2 守恒律的理论知识  10-14
第二章守恒律的构造方法  14-25
  §2.1 直接方法  14
  §2.2 Noether定理  14-16
  §2.3 特征方法  16
  §2.4 变分方法  16-17
  §2.5 微分方程的解空间上的变分方法  17
  §2.6 对称条件法  17-18
  §2.7 直接构造法  18-21
  §2.8 截断Noether方法  21-22
  §2.9 伴随方程方法  22-25
第三章几个非线性发展方程(组)的守恒律  25-40
  §3.1 非线性Schr(o|¨)dinger方程的守恒律  25-28
  §3.2 Fujimoto-Watanabe方程的守恒律  28-31
  §3.3 Maxwellian模型方程的守恒律  31-33
  §3.4 Black-Scholes方程的守恒律  33-36
  §3.5 五阶色散方程的守恒律  36-38
  §3.6 非线性扩散方程的守恒律  38-40
总结与展望  40-41
参考文献  41-45
攻读硕士期间完成和录用相关文章列表  45-46
致谢  46

非线性发展方程的守恒律的若干构造方法及其应用

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