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对称拉丁方的计数

作　者: 叶小瑞
导　师: 徐允庆
学　校: 宁波大学
专　业: 应用数学
关键词: 对称拉丁方对称拟拉丁方对称变换 l一因子分解边着色
分类号: O157.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

近年来，出现了各种各样基于拟群的密码体制．中外学者越来越多地把拟群用于加密，主要是因为它庞大的数量可以为密码系统提供无限的密钥空间，从而增加了密码体制的安全性．拉丁方可以看做是去掉行标和列标的拟群乘法表，也就是说拉丁方的数量和基于拟群的密码系统的安全性有紧密的联系．同时拉丁方的计数问题是组合数学中的一项重要问题，早在220年前欧拉研究该问题以来，吸引了众多中外学者对它的研究．特别地，在2010年徐允庆教授提出了基于后可交换拟群的密码体制．由于对称拉丁方和后可交换拟群是等价的，所以对称拉丁方的数目和基于后可交换拟群的密码体制的安全性有密切的联系．目前有关对称拉丁方计数问题的结论相对匮乏有待完善．本文主要研究对称拉丁方的计数问题，给出相应的估计公式，并介绍其在三个方面的应用．全文共分为四章．第一章本章主要介绍有关对称拉丁方计数研究的背景，发展概况及相应的研究成果．第二章在这一章中，我们首先探讨对称拉丁方和半标准对称拟拉丁方之间的数量关系；然后讨论六种半标准对称拟拉丁方的存在性，并分别给出相应的估计公式．第三章根据半标准对称拟拉丁方和对称拉丁方之间的数量关系，并结合第二章所得的结果给出两个关于对称拉丁方数目的估计公式，最后结合估计公式给出对称拉丁方数目近似值，这些是本文的主要结果．第四章在本章中，我们把所得结论应用到三个方面：首先讨论后可交换拟群与对称拉丁方的等价关系，然后说明基于后可交换拟群的密码体制的密钥空间大小与对称拉丁方数目之间的关系．其次，我们分别讨论对称拉丁方和完全图的一因子分解及其边着色的关系，并把第三章有关结论分别用于估计完全图的一因子分解个数和完全图的边着色个数．

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
1 Introduction  9-11
  1.1 Backgrounds  9-10
  1.2 Existing results of the number of symmetric Latin squares  10-11
2 The number of symmetric quasi-Latin squares  11-38
  2.1 Preliminaries  11-12
  2.2 symmetric quasi-Latin squares  12-34
  2.3 Formulas for half standard form symmetric quasi-Latin squares  34-38
    2.3.1 A brief formula for Q(n)  34-35
    2.3.2 A more accurate formula for Q(n)  35-38
3 The Number of Symmetric Latin squares  38-44
  3.1 preliminaries  38-39
  3.2 A simple formula for S(n)  39-41
  3.3 An accurate formula for S(n)  41-44
4 Application of Symmetric Latin squares  44-51
  4.1 Application I: Size of key space of post-commutative quasigroup cipher  44-45
  4.2 Application II: Enumerating one-factorizations of K_(2n)  45-48
  4.3 Application III: Enumerating edge-colorings of K_n  48-51
Summary  51-52
Bibliography  52-55
Academic Achievements  55-56
Acknowledgements  56

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