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时间分数阶对流—扩散方程反问题研究

作　者: 谷文娟
导　师: 李功胜
学　校: 山东理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 分数阶导数时间分数阶扩散方程(TFDE) 时间分数阶对流-扩散方程(TEADE) 参数反演最佳摄动量算法同伦正则化算法数值模拟数值唯一性
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

时间分数阶对流-扩散方程(简称TFADE)可以用来模拟与时间相关的反常扩散,它是由传统的对流-扩散方程(简称ADE)演变而来的。虽然对于反常扩散正问题已有不少研究,但对于反常扩散模型参数识别的反问题研究却鲜见于文献。本文基于对时间分数阶扩散方程和时间分数阶对流-扩散方程正问题的数值求解方法研究,主要探讨扩散系数和分数微分阶数的数值反演问题。论文前两章简要介绍分数阶微分算子的发展历史和现状及趋势,给出三种分数阶微积分的定义,分数阶导数的性质及其区别与联系,进一步推导了函数eλ1的Caputo分数阶导数的表达式。第三章主要讨论有限域上时间分数阶扩散方程正问题的数值求解。基于对Caputo意义下时间导数的离散,对于两种形式的扩散系数分别提出了正问题求解的隐式差分格式,证明了差分格式的稳定性和收敛性,并给出了一个数值算例分析。第四章着重探讨时间分数阶扩散方程的参数反演问题。应用最佳摄动量算法和同伦正则化算法,对确定分数微分阶数与扩散系数的反问题进行了数值反演模拟。通过数值算例,讨论了正则参数(同伦参数)、数值微分步长等参数选取对反演结果的影响。计算结果表明,一维时间分数阶扩散方程中同时确定分数微分阶数与扩散系数的反问题具有数值唯一性。第五章讨论了时间分数阶对流-扩散方程的正问题及参数反演问题。对于多项式形式的扩散系数推导出了求解正问题的隐式差分格式,利用最佳摄动量算法对扩散系数与分数微分阶数的同时反演进行数值模拟,并讨论了对流系数、正则参数选取对反演结果的影响。

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-5
目录  5-7
第一章绪论  7-10
  1.1 研究背景和意义  7-8
  1.2 研究现状及其进展  8-10
第二章预备知识  10-18
  2.1 Grunwald-Letnikov分数阶积分与导数  10-12
  2.2 Riemann-Liouville分数阶积分与导数  12-14
  2.3 Caputo分数阶导数  14-15
  2.4 Mittag-Leffler(M-L)函数的定义与基本性质  15-16
  2.5 函数e~(λ1)的Caputo导数的解析表达式  16-18
第三章时间分数阶扩散方程的差分格式  18-26
  3.1 TFDE的数值解  18-23
    3.1.1 隐式差分格式(扩散系数为常数)  18-20
    3.1.2 隐式差分格式(扩散系数依赖于空间变量)  20-21
    3.1.3 稳定性和收敛性分析  21-23
  3.2 数值模拟  23-25
  3.3 本章小结  25-26
第四章分数微分阶数与扩散系数的反演  26-47
  4.1 最佳摄动量正则化算法  26-28
    4.1.1 扩散系数为常数形式  26-27
    4.1.2 扩散系数依赖于空间变量  27-28
  4.2 同伦算法  28-30
  4.3 扩散系数的反演  30-37
  4.4 分数微分阶数、扩散系数的联合反演  37-46
    4.4.1 扩散系数为常数形式  37-40
    4.4.2 扩散系数为多项式或分段函数  40-46
  4.5 本章小结  46-47
第五章时间分数阶对流-扩散方程  47-54
  5.1 正问题的求解  47-48
  5.2 数值模拟  48-50
  5.3 参数的反演  50-53
    5.3.1 扩散系数的反演  50-52
    5.3.2 分数微分阶数、扩散系数的反演  52-53
  5.4 本章小结  53-54
第六章总结与展望  54-56
  6.1 主要结论  54
  6.2 后续工作展望  54-56
致谢  56-57
参考文献  57-60
在学期间公开发表论文及著作情况  60-61
附录  61-64

时间分数阶对流—扩散方程反问题研究

内容摘要

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