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Ricci曲率与完备黎曼流形的有界性

作　者: 杨隆
导　师: 梅加强
学　校: 南京大学
专　业: 应用数学
关键词: 完备黎曼流形 Ricci曲率截面曲率直径万有覆盖空间基本群
分类号: O186.12
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

Myers定理是黎曼几何中的一个经典定理,该定理由Myers于1941年证明.它表明如果一个n维完备黎曼流形的Ricci曲率有正下界(n-1)k2,那么这个n维完备黎曼流形的直径不会超过π/k.与该定理类似的一个较弱结果是由Bonnet提出的,它表明在一个较强的假设即截面曲率有正下界的情况下有着与Myers定理相同的结论.此外,如果一个n维完备黎曼流形的截面曲率≥k2(k>0)且直径等于π/k,那么该流形与一个半径为1/k的n维球面等距同构,这个结果就是著名的Toponogov最大直径定理.当Ricci曲率有正下界时,也有相应的最大直径定理.Myers定理的结果对于Ricci曲率有正下界的n维完备黎曼流形的万有覆盖空间也是成立的,特别地,该流形及其万有覆盖空间都是紧致的,从而其万有覆盖空间的叶数有限并且该流形具有有限基本群.本论文中,我们将给出Myers型定理的综述.在放宽Myers定理中的条件下,探讨Ricci曲率的下界条件可以减弱到什么地步仍能保证n维完备黎曼流形的有界性.我们将考虑Ricci曲率为非负时的情形,也考虑Ricci曲率的下界为负时的情形,以及Ricci曲率无下界时的情形,并讨论在这些情形中需要对完备黎曼流形引入哪些限制条件来保证其直径仍然有界.

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-5
第一章引论  5-6
  1.1 研究对象  5
  1.2 主要结果  5
  1.3 准备知识  5-6
第二章 Ricci曲率有非负下界时的情形  6-8
第三章 Myres定理的直接推广  8-10
第四章 Ricci率局部下界为负时的情形  10-14
第五章 Ricci曲率在积分条件限制下的情形  14-22
  5.1 不确定Rcci曲率有下界时的较抽象结果  14-16
  5.2 Ricci曲率下界为O时的情形  16
  5.3 Ricci曲率有负下界时的情形  16-19
  5.4 不确定Ricci曲率有下界时的较精确结果  19-22
第六章总结  22-23
参考文献  23-24
致谢  24-25

Ricci曲率与完备黎曼流形的有界性

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