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四阶微分方程Neumann边值问题的解

作　者: 黄永峰
导　师: 李福义
学　校: 山西大学
专　业: 基础数学
关键词: 四阶Neumann边值问题不动点指数临界点理论临界群 Morse理论
分类号: O175.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

本文主要研究四阶微分方程Neumann边值问题解的存在性与多解性.论文分两部分对两类四阶非线性常微分方程两点边值问题进行了讨论.在第一章中,对一类带变系数的四阶Neumann边值问题,我们利用不动点指数理论和Leggett-Williams三解定理研究解的存在性及多解性.在非线性项满足一定条件时,我们分别得到边值问题至少存在一个正解,两个正解以及三个非负解的结论.在第二章中,我们讨论了带两个参数的四阶边值问题的解的存在性及多解性.利用临界点理论和无穷维Morse理论,我们对非线性项进行一些适当的不同限制,通过对原点以及无穷远处的共振性质加以讨论,分别得到边值问题至少存在一个解,一个非平凡解以及两个非平凡解的结论.下面,我们对本文的主要结果加以具体阐述.在第一章中,我们研究以下边值问题正解的存在性,其中a,b,f满足如下的条件（H₁） b:[0,1]→（0,+∞）连续;（H₂）α＞0,且M≤α²,M=（?）b（t）;（H₃） f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)连续.在这里先引入一些记号,记m=（?）b（t）,主要结论如下:定理1.3.1_设下列条件之一成立,（i）f⁰＜m,f_∞＞M;（ii）f₀＞M,f^∞＜m,则边值问题（1.1.1）至少有一个正解.定理1.3.2.若f₀＞M,f_∞＞M,且存在p＞0,使得其中δ=（?）为常数,则边值问题（1.1.1）至少存在两个正解.定理1.3.3.若存在实数a,d,0＜d＜a,使得进一步,假设下面条件之一满足（i）（?）＜m,（ii）存在数c使得c＞a/δ,u∈[0,c],t∈[0,1],那么就有f（t,u）＜mc.那么边值问题（1.1.1）有至少三个非负解.在第二章中,我们主要研究含参数的半线性四阶Neumann边值问题解的存在性和多解性,其中f∈C¹（[0,1]×R,R）,ξ,η∈R都是参数,且满足条件:首先作下列基本假设:（H₁）（?）=k⁴π⁴+ηk²π²+ξ,t∈[0,1],其中k∈N∪{0};（H₂）（?）（f（t,u）u-2F（t,u））=+∞,t∈[0,1];（H₃）（?）≤F（t,u）≤（?）,|u|≤α,t∈[0,1];（H₄） F（t,u）≥（?）,|u|≤α,t∈[0,1];（H₅）（?）＜ξ/2对t∈[0,1]一致成立.主要结论如下:定理2.3.1.设对k≥1,（H₁）和（H₂）满足,那么边值问题（2.1.1）至少有一个解.定理2.3.2.假设f（t,0）=0,对k≥1,（H₁）和（H₂）满足,如果同时还满足下面的条件之一（i）m≠k,（H₃）成立;（ii）k＜m,（H₄）成立.那么边值问题（2.1.1）至少有一个非平凡解.定理2.3.3.假设f（t,0）=0,对k＞1,（H₁）,（H₂）和（H₅）满足,那么边值问题（2.1.1）至少有两个非平凡解.定理2.3.4.假设f（t,0）=0,对k=0,（H₁）,（H₂）和（H₃）满足,那么边值问题（2.1.1）至少有两个非平凡解.

全文目录

中文摘要  6-9
英文摘要  9-12
第一章变系数的四阶边值问题的解  12-20
  §1.1 引言  12
  §1.2 预备知识  12-16
  §1.3 主要结果及证明  16-20
第二章带两个参数的四阶边值问题的解  20-34
  §2.1 引言  20-21
  §2.2 预备知识  21-26
  §2.3 主要结果及证明  26-34
结束语  34-35
参考文献  35-38
发表文章目录  38-39
致谢  39-40
个人简况  40-41

四阶微分方程Neumann边值问题的解

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