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非线性薛定谔方程的数值模拟及其理论分析

作　者: 杨国全
导　师: 张素英
学　校: 山西大学
专　业: 凝聚态物理
关键词: 精细积分方法非线性薛定谔方程分步傅里叶方法玻色-爱因斯坦凝聚
分类号: O411.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

非线性薛定谔方程在非线性物理学中的地位是不言而喻的,它广泛应用于非线性光学、等离子体物理、激光聚变、凝聚态物理等领域,非线性薛定谔方程的计算方法也得到了广泛的研究,但仍不尽完善。本文采用精细积分方法和分步傅里叶方法研究了非线性薛定谔方程的随时演化问题。针对某些不同物理背景的非线性薛定谔方程,进行了大量的模拟实验,分析了其中的物理现象。主要内容包括:一、用精细积分方法求解非线性薛定谔方程,将精细积分的思想推广到了求解非线性方程,并介绍了处理非线性项的方法。同时,提出了非线性薛定谔方程的精细Runge-Kutta方法,与最新基于量子力学的相互作用绘景给出的薛定谔方程的计算方法基本一致。用精细积分方法计算线性薛定谔方程的波函数,可以达到计算机舍入误差范围内的计算精度,但计算过程中产生的数据将占用计算机的大量内存。我们将它推广应用于求解非线性薛定谔方程,达到很好的计算效果。二、用分步傅里叶变换的方法研究了波色-爱因斯坦凝聚体的基态和第一激发态。分别就一维、二维、三维的不同情况给出它的基态解和第一激发态解,与他人用其他方法做出的计算结果做比较,发现分步傅里叶方法不仅计算精度很高,而且计算速度也较快。三、用分步傅里叶方法计算了两组分非线性薛定谔方程组描述的多孤子解的情况和G-P方程的描述N个粒子的波函数的演化情况,模拟出了孤子间的碰撞现象,讨论了玻色凝聚体间的干涉现象,并对其作了理论解释。研究结果表明,对于非线性薛定谔方程,精细积分方法简便易行,适用于低维系统的数值模拟。对于高维系统,由于计算量很大,采用傅里叶变换方法求解更为快速有效。同时,采用快速傅里叶变换方法可以减少空间变量离散的点数。时间方向采用高阶的Runge-Kutta方法,空间方向采用快速傅里叶变换进行离散,可以得到很好的计算效果。文中的计算方法非常有效且稳定。根据具体问题的需要,可以结合精细Runge-Kutta方法和傅里叶变换方法求解非线性薛定谔方程。

全文目录

摘要  6-7
ABSTRACT  7-9
第一章引言  9-14
  1.1 非线性薛定谔方程研究的现状及意义  9-11
  1.2 薛定谔方程的计算方法及其应用  11-12
  1.3 本文主要内容  12-14
第二章非线性薛定谔方程的精细积分方法  14-22
  2.1 精细积分方法简介  14-15
  2.2 变系数非线性薛定谔方程  15-16
  2.3 用精细积分方法求解变系数非线性薛定谔方程  16-18
  2.4 用精细积分方法探讨相互作用问题  18-19
  2.5 非线性薛定谔方程的精细 Runge-Kutta方法  19-21
  2.6 本章小结  21-22
第三章用分步傅里叶方法求解非线性薛定谔方程  22-37
  3.1 分步傅里叶方法介绍  22-23
  3.2 数值求解非线性薛定谔方程的基态和第一激发态  23-30
  3.3 两组分非线性薛定谔方程组的数值研究  30-36
  3.4 本章小节  36-37
第四章关于粒子间干涉的数值讨论  37-42
  4.1 N个粒子整体运动的模型  37
  4.2 粒子间的相互作用  37-39
  4.3 理论分析  39-41
  4.4 结论  41-42
第五章总结  42-43
参考文献  43-48
研究生在读期间成果  48-49
致谢  49-50
个人简历  50-51

非线性薛定谔方程的数值模拟及其理论分析

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