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非负张量特征值研究中的若干问题

作　者: 杨宇宁
导　师: 杨庆之
学　校: 南开大学
专　业: 计算数学
关键词: 非负张量 Perron-Frobenius定理 Ky Fan定理最大最小值问题谱半径对角变换算法
分类号: O183.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

张量的概念是十九世纪由Gauss, Riemann和Christoffel等在微分几何的研究中提出的。在二十世纪初期,Ricci, Levi-Civita等将张量解析进一步发展成为数学的一个分支。1916年,Einstein将张量应用到其广义相对论的研究中。这使得张量分析成为理论物理,连续介质力学和其他学科的重要工具。在应用数学的一个新的分支-多重线性数值代数中,高阶张量特征值已经成为一项重要课题,并且在实际中有着广泛的运用。在最近对多重线性代数的研究中,张量特征值问题引起了特别的关注。祁力群在文献[15]中给出了实超对称张量的超特征多项式,特征值和E-特征值的定义并给出特征值的若干性质。在文献[14,16]中,他定义了张量的秩。张恭庆等在文献[2,3]中探讨了张量特征值的重数,并且在文献[2]中将Perron-Frobenius定理从非负矩阵推广到非负张量上。同样的定理在文献[10]中也有研究。本文探讨非负张量特征值的若干问题。在第一章,我们介绍张量的定义,应用背景及研究进展。在第二章,我们回顾非负张量上的Perron-Frobenius定理,随后对该定理改进,并得到更强的结论；其次,我们把Ky Fan定理推广到张量上,并进一步探讨了与谱半径估计有关的最大最小值问题,最后给出非负不可约张量的一个等价条件。这一部分的结果对非负张量进行了理论上的完善。文中定义了张量的谱半径。在第三章,我们提出一种计算一类非负张量谱半径和相应特征向量的算法,并分析其收敛性。最后给出数值例子。

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-7
Contents  7-9
1 Background and Introduction  9-12
  1.1 The instruction of tensors  9
  1.2 The eigenvalue problems of tensors  9-12
2 Further results on the Perron-Frobenius theorem for nonnega-tive tensors  12-30
  2.1 The Perron-Frobenius theorem for nonnegative tensors  12-14
  2.2 Further results on the Perron-Frobenius theorem for non-negative tensors  14-22
  2.3 The Ky Fan theorem for nonnegative tensors  22-23
  2.4 Maxmin Problems  23-28
  2.5 An equivalent condition of nonnegative irreducible tensors  28-29
  2.6 Conclusion and remarks  29-30
3 An algorithm to find the spectral radius of nonnegative tensors  30-44
  3.1 The algorithm  30-33
  3.2 The convergence analysis of the algorithm  33-40
  3.3 Numerical results  40-42
  3.4 Conclusion and remarks  42-44
Bibliography  44-46
致谢  46-47
Appendix  47-49
个人简历与研究成果  49-50

非负张量特征值研究中的若干问题

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