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几类非线性微分方程振动性的研究

作　者: 邵晶
导　师: 孟凡伟
学　校: 曲阜师范大学
专　业: 应用数学
关键词: 微分方程振动性非线性广义Riccati变换广义变分原理强迫项
分类号: O175.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 31次
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内容摘要

微分方程的振动性理论是微分方程定性理论中一个十分重要的分支,它具有非常深刻的物理背景和数学模型.由G. Sturm所建立的关于齐次二阶线性微分方程解的零点分布的比较定理和分离定理,为微分方程振动性理论的研究奠定了坚实的理论基础。一个半世纪以来,微分方程的振动性理论得到了迅猛的发展,有大批学者从事于这方面的理论研究,取得了一系列丰硕的研究成果.微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一.随着自然科学与生产技术的不断发展,在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在或者是否微分方程的一切解均为振动解的问题.特别是近几十年,微分方程解的振动性的研究发展得相当迅速,其中以二阶非线性微分方程最受人们的关注,因此也被研究得比较深入和广泛,无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展本文利用广义Riccati变换,广义变分原理,结合函数的单调性以及巧妙运用不等式,对几类微分方程的振动性,进行了讨论,得到了一些新的振动性的判别准则.根据内容,本文分为如下四章.第一章概述了本文研究的主要问题及基础理论.第二章研究了一类含强迫项的二阶拟线性微分方程解的振动性,其中p,q,e∈C([t0,∞),R),p(t)＞0,且0＜α≤β是常数.本章的主要目的是使用广义的变分原理来讨论上述拟线性方程的振动性,所得到的新的振动性判定与广义变分形式密切相关,并且推广和改进了许多现有文献中的结果.第三章研究了一类含强迫项的非线性微分方程的解的振动性,其中a是正常数,p,q,e∈C([t0,∞),R),p(t)＞0,且Ψ∈C(R,(0,∞)),f∈C(R,R)满足当u≠0时uf(u)＞0.本章主要利用了广义Leighton变分原理,Riccati变换,基本不等式将Zhao wen Zheng和S.Cheng在文[36]中的结论推广和改进,得到了一些新的振动性准则.第四章研究了一类含强迫项的二阶拟线性微分方程t≥t0＞0,的振动性,其中(I1)0＜α≤β是常数；(I2)r,q,e∈C([t0,∞),R),且r(t)＞0；(I3)F：[t0,∞)×R×R×R×R→R是一个连续函数；(I4)τ：[t0,∞)→(0,∞)是一个连续函数而且limt→+∞τ(t)=∞.A.Tiryaki在文[42]中得到了如下方程的振动性t≥t0＞0.2007年,Zhaowen Zheng和Fanwei Meng在[40]文中又研究了方程的振动性,其中p,q,e∈C(t0,∞),R),p(t)＞0,0＜α≤β是常数.本章在上述论文[39]-[47]的基础上,采用两种不同的方法,研究了一类更为广泛的二阶非线性方程,主要讨论F在三种不同条件下方程解的振动性,其中前两种情况,我们的判定方法不再严格要求ρ’(t)和τ’(t)的符号.以往的文章均对时滞型τ(t)≤t和超前型τ(t)≥t两种情况下的振动性分开来考虑,本章中τ(t)的情况并不影响我们的振动性结论.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
第一章绪论  10-13
第二章一类含强迫项的二阶拟线性微分方程解的振动性  13-20
  2.1 引言  13-15
  2.2 主要内容  15-20
第三章一类二阶非线性非齐次微分方程解的振动性  20-29
  3.1 引言  20-21
  3.2 β=α时的振动性准则  21-26
  3.3 β>α时的振动性准则  26-29
第四章一类含强迫项的二阶非线性微分方程的振动性  29-42
  4.1 引言  29-30
  4.2 由三元辅助函数得到的振动性  30-37
  4.3 由二元辅助函数得到的振动性  37-42
参考文献  42-48
攻读硕士学位期间发表和完成的主要学术论文  48-49
致谢  49

几类非线性微分方程振动性的研究

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