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基于混合网格的高阶精度DG/FV混合算法研究

作　者: 李明
导　师: 张涵信
学　校: 中国空气动力研究与发展中心
专　业: 流体力学
关键词: 高阶方法间断Galerkin有限元方法有限体积方法 DG/FV混合方法非结构网格混合网格隐式方法粘性流动
分类号: O35
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

非结构/混合网格具有适于离散复杂几何外形和易于网格自适应从而更精细和高效地捕捉流场细微结构等优点，因此近年来其网格生成方法和求解Euler、N-S方程的计算方法得到了迅速发展。目前几乎所有的CFD商业软件及绝大部分专业流场解算器，无论其使用有限体积方法（FVM）、有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）等等都是基于二阶精度方法。这些方法在实际工程应用中已取得很大的成功，然而对于很多问题，如计算气动声学（CAA）、旋涡主导的流动问题、湍流的大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）等等，需要采用高阶精度计算方法（三阶或以上精度）。二阶精度方法在求解上述问题时存在对旋涡模拟的过度耗散和色散等缺点，需要使用低数值耗散和色散的高阶精度方法来提高旋涡和其它复杂的分离、非定常流动问题的预测精度。因此基于非结构/混合网格的高阶精度方法在近一二十年受到广泛的关注。目前，大多数非结构/混合网格上的数值方法都源于有限体积方法或者有限元方法。在众多的高阶精度计算方法中，间断Galerkin有限元方法（DGM）因其计算精度高、提高精度阶无需拓展网格模板、并行算法容易实现、且具有很多良好的数学性质等优点，已成为CFD领域卓有成效的数值方法之一。然而间断Galerkin方法也存在一些缺点，主要是内存需求量和计算CPU资源耗费巨大。相对于传统的二阶精度DG方法，二阶精度有限体积方法因为其不需要求解额外的高阶基函数的自由度（DOFs）和数值积分，其在使用相同网格时的计算机内存和CPU资源需求量都要小很多。但是对于高阶有限体积方法来说，多维的高阶重构需要的模板很大。因而不具有DG方法的紧致特性，这在大规模并行计算时会带来大量的信息交换。另外，高阶重构模板的选择具有不确定性和任意性，从而使得重构非常复杂，且重构矩阵的计算也要耗费大量的CPU资源，特别是在三维情况下。为了解决上述问题，张涵信提出了一个结合有限体积方法和有限元方法优点的具有三阶精度的混合方法。张来平、刘伟等提出了“静态重构”和“动态重构”的概念用于构造高阶精度数值方法，并基于静动态“混合重构”的思想，构造了一类针对三角形和三角形/笛卡儿混合网格的高阶精度方法用于求解守恒律方程，命名为DG/FV混合方法。在这类混合方法中，每个单元中的分布多项式的低阶系数使用通常的DG方法进行求解（称为动态重构）；对于高阶系数，类似有限体积方法，利用本单元和邻近单元上的低阶系数信息进行重构得到（称为静态重构）。此混合方法构造简单、适于复杂外形、方便推广获得更高阶格式。另外，此方法模板紧致，只和相邻单元进行数据交换，因而通讯量小，非常适合于并行计算。本文理论分析了上述高阶精度DG/FV混合方法的耗散、色散特性及稳定性条件；并将其推广应用于二维混合网格下的N-S方程求解；定性理论分析和数值比较了其数值精度和计算效率。同时，为了进一步加速定常流的收敛速度，发展了基于Newton/Gauss-Seidel迭代的隐式计算方法。计算结果表明，此DG/FV混合方法达到了设计的4~5阶精度，且隐式方法相对于显式Range-Kutta方法，收敛速度提高约1~2个量级。本文共分为六章。第一章中，首先简要回顾了计算流体力学中基于非结构网格/混合网格下的计算方法及其高阶精度、高分辨率格式最新研究进展；然后讨论了几种常见的基于非结构/混合网格的高阶精度数值方法的优缺点，指出了可以进行改进的地方；最后对本文工作做一简要介绍。第二章详细介绍了DG/FV混合方法，包括方法的基本思想、具体构造方法、空间重构算法、显隐式时间离散方法、数值通量格式、高斯数值积分方法、限制器、边界条件及曲边界处理方法等。在第三章中讨论了DG/FV混合方法的数值特性，包括方法的数值色散和耗散特性；给出了方法的稳定性条件；并利用线性和非线性标量方程对DG/FV混合方法的计算精度进行了验证；定性理论分析和数值验证了此方法的计算量和内存消耗方面的优势。第四章和第五章测试了一些数值算例来验证本文DG/FV混合方法的精度及计算效率。在第四章中，对一些无粘算例进行了数值模拟，包括等熵涡流动、亚声速圆柱绕流、Bump流动、一维Sod激波管问题、Shu-Osher问题及前台阶的超声速流动问题等。第五章中给出了一些粘性流动算例，如平板间的Couette流动、平板层流流动、粘性圆柱绕流、方腔流动及NACA0012翼型绕流等。上述数值计算中，将计算精度及效率与同阶DG方法结果进行了对比分析，并且了选择典型算例对比分析了显隐式时间离散方法的计算效率和隐式方法参数对计算效率的影响。第六章为结束语，给出本文工作总结及未来可能的研究方向。

全文目录

目录  5-8
摘要  8-10
Abstract  10-13
第一章引言  13-29
  1.1 研究背景  13-16
  1.2 计算流体力学及其非结构/混合网格高阶精度方法进展  16-27
    1.2.1 有限差分格式的发展历程  16-18
    1.2.2 非结构网格及混合网格技术  18-19
    1.2.3 基于非结构/混合网格的有限体积方法和有限元方法  19-23
    1.2.4 基于非结构/混合网格的新型高阶方法及混合方法  23-27
  1.3 本文工作  27-29
第二章控制方程与计算方法  29-67
  2.1 流体力学基本方程  29-32
  2.2 有限元/有限体积（DG/FV）混合方法  32-35
    2.2.1 动态重构和静态重构  33-34
    2.2.2 动静态混合重构和 DG/FV 混合方法的构造  34-35
  2.3 空间重构算法  35-49
    2.3.1 k-exact 重构方法简介  36-39
    2.3.2 DG/FV 混合重构算法  39-41
    2.3.3 重构模板  41-44
    2.3.4 重构算法精度验证  44-49
  2.4 时间离散  49-52
    2.4.1 显式离散方法  49
    2.4.2 基于 Newton/GS 迭代的隐式时间离散  49-52
    2.4.3 时间步长  52
  2.5 数值通量格式  52-54
  2.6 高斯数值积分  54-57
    2.6.1 边界积分  54-55
    2.6.2 单元体积分  55-57
  2.7 限制器  57-61
  2.8 边界条件及曲边界处理  61-65
    2.8.1 Euler 方程边界条件  61-63
    2.8.2 NS 方程边界条件  63-64
    2.8.3 曲边界处理  64-65
  2.9 本章小结  65-67
第三章 DG/FV 混合方法的数值特性分析  67-85
  3.1 模型方程及其数值精度验证  67-72
    3.1.1 对流扩散方程  67-70
    3.1.2 非线性 Burgers 方程  70-72
  3.2 DG/FV 混合方法的色散及耗散特性  72-77
  3.3 DG/FV 混合方法的稳定性分析  77-82
  3.4 DG/FV 混合方法的计算效率定性分析和数值验证  82-83
  3.5 本章小结  83-85
第四章 Euler 方程的数值模拟  85-111
  4.1 计算方法  85-87
  4.2 精度验证  87-104
    4.2.1 等熵涡流动  87-93
    4.2.2 圆柱绕流  93-97
    4.2.3 Bump 管道流动  97-104
  4.3 计算算例  104-110
    4.3.1 一维激波问题  104-106
    4.3.2 前台阶流动  106-110
  4.4 本章小结  110-111
第五章 NS 方程的数值模拟  111-130
  5.1 计算方法及边界条件  111-115
  5.2 精度验证  115-119
    5.2.1 库埃特流动  115-116
    5.2.2 层流平板绕流  116-119
  5.3 计算算例  119-129
    5.3.1 圆柱绕流  119-123
    5.3.2 方腔流动  123-126
    5.3.3 NACA0012 翼型绕流  126-129
  5.4 本章小结  129-130
第六章结束语  130-133
  6.1 本文工作总结  130
  6.2 未来研究方向  130-133
附录 A 标准正交基函数构造  133-144
  A.1 一维情形的 Taylor 基函数及标准正交基函数  133-137
    A.1.1 Taylor 基函数  133-136
    A.1.2 标准正交基函数  136-137
  A.2 二维情形的 Taylor 基函数及标准正交基函数  137-143
    A.2.1 Taylor 基函数  137-140
    A.2.2 三角形单元的标准正交基函数  140-142
    A.2.3 矩形单元的标准正交基函数  142-143
  A.3 小结  143-144
附录 B 三角形单元、矩形单元坐标变换  144-148
  B.1 三角形单元与其标准参考单元的坐标变换  144-145
  B.2 矩形单元与其标准参考单元的坐标变换  145-147
  B.3 小结  147-148
附录 C 常用流场分析计算公式  148-150
参考文献  150-164
致谢  164-165
个人简历  165-166

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