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两类非线性偏微分方程的无网格法

作　者: 刘永庆
导　师: 葛红霞
学　校: 宁波大学
专　业: 基础数学
关键词: 无网格法无单元伽辽金方法分数阶偏微分方程耦合薛定谔—KDV方程
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 3次
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内容摘要

无单元伽辽金方法是一种无网格方法，它采用移动的最小二乘法构造形函数,从能量泛函的弱变分形式中得到离散方程,并用拉氏乘子或罚方法处理边界条件,从而得到偏微分方程的数值解。该方法只需节点信息,不需将节点连成单元，此外,还有精度高、后处理方便等优点。本文研究几类偏微分方程通过无单元伽辽金方法来获得的数值解，并与其相应的解析解进行比较，并进行误差分析。全文的主要工作如下：详细介绍了移动最小二乘法近似的基本原理，形函数与形函数的导数的计算；接着给出了权函数的种类；最后讨论了权函数的支撑域对无单元伽辽金方法的影响。将无单元伽辽金方法应用于分数阶偏微分方程，建立时间分数阶偏微分方程的无单元伽辽金方法与空间分数阶偏微分方程的无单元伽辽金方法，并推导了相应的离散方程，该方法精度高但计算量大。将无单元伽辽金方法应用于求解耦合Schrodinger－KdV方程组问题，对其控制方程采用等效积分弱形式，建立耦合Schrodinger－KdV方程组问题的无网格法，并推导了相应的离散方程。为了证明本文方法解决其问题的有效性，本文编制了MATLAB计算程序，进行了数值算例分析。大量数值算例说明了本文方法的正确性和有效性。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-7
引言  7-10
  1.1 介绍无网格法  7-8
  1.2 无网格法的发展  8-9
  1.3 本文的内容介绍  9-10
2 无单元伽辽金方法（The element-free Galerkin method(EFG)）  10-22
  2.1 移动最小二乘法基本原理  10-13
  2.2 权函数  13-16
    2.2.1 权函数的种类  13-15
    2.2.2 权函数的影响域或支撑域  15-16
  2.3 形函数的性质及其偏导数  16-19
  2.4 施加本质边界条件  19-20
  2.5 收敛性分析和误差估计  20-21
  2.6 本章小结  21-22
3 分数阶偏微分方程的无网格法  22-38
  3.1 时间分数阶偏微分方程  23-34
    3.1.1 一维的时间分数阶扩散方程离散  23-26
    3.1.2 数值算例及误差分析  26-31
    3.1.3 二维的时间分数阶扩散方程离散  31-32
    3.1.4 数值算例及误差分析  32-34
  3.2 空间分数阶偏微分方程  34-37
    3.2.1 空间分数阶导数定义及空间分数阶扩散方程  34
    3.2.2 空间分数阶扩散方程的离散  34-36
    3.2.3 数值算例及误差分析  36-37
  3.3 本章小结  37-38
4 耦合薛定谔—KDV 方程组的无网格方法  38-50
  4.1 耦合薛定谔-KDV 方程的离散  38-42
  4.2 数值算例及误差分析  42-48
    4.2.1 算例一  42-47
    4.2.2 算例二  47-48
  4.3 本章小结  48-50
5 结论与展望  50-52
  5.1 本文的工作总结  50-51
  5.2 EFG 法的展望  51-52
参考文献  52-56
在学研究成果  56-57
致谢  57

两类非线性偏微分方程的无网格法

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