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关于一些非线性椭圆型方程及方程组非平凡解的存在性研究

作　者: 叶红雨
导　师: 李工宝
学　校: 华中师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 无(AR)条件 非线性Kirchhoff方程 基态解 无穷多解 无穷维强不定泛函 锥上的环绕结构 双临界的耦合的Schr(o ¨)dingcr方程组 临界指标
分类号: O175.25
类　型: 博士论文
年　份: 2014年
下　载: 2次
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内容摘要


本文主要研究非线性Schrodinger-Kirchhoff型方程的次临界与临界问题,P-Laplacian型方程多解的存在性,零质量的半线性椭圆型方程组非平凡解的存在性及带双临界指标的耦合的Schrodingcr方程组极小能量正解的存在性.本文共分六章：在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们研究下述非线性Kirchhoff方程正的基态解的存在性,其中a：b>0是正常数且2<p<5.当位势函数V(x)满足某些给定条件时,利用全局紧定理和一个单调性技巧,我们证明了(E1)至少存在一个正的基态解.特别地,我们的结果解决了当2<p≤3时非局部问题(E1)非平凡解的存在性这一公开问题并推广了文献[62]的结果,其中文献[62]考虑的是Kirchhoff方程当非线性项满足f(u)～|u|p-1u,3<p<5的情形.我们给出了处理2<p<5的一个统一方法.在第三章中,我们研究下述带临界Sobolev指标的非线性Kirchhoff型问题正解的存在性,其中a,6>0.f(x,t)满足两类假设条件：一类是f(x,t)三f(t)在0处超线性,f(t)/t3严格单调递增且满足(AR)条件；一类是f(x,t)三fλ(x)|t|p-2t,其中fλ(x)是一个变号的位势函数且p∈[2,4).利用山路引理和集中紧致原理,我们证明了问题(E2)至少存在一个正解.我们的结果是文献[62]关于全空间上Kirchhoff方程次临界问题的存在性结果的一个部分推广.在第四章中,我们考虑下述定义在全空间RN上的拟线性p-Laplacian型方程无穷多解的存在性：其中入∈R,1<p<N,△pU=div(|Du|p-2Du)是p-Laplacian算子.当位势函数V(x)和非线性项g(x,t)关于x是径向对称的且满足某些给定条件时,我们证明了对任意的λ∈R,问题(F3)在W1,p(RN)中有无穷多个非平凡解.我们的结果推广了文献[49]中一个关于有界域上p-Laplacian方程的存在性结果.在第五章中,我们研究下述零质量的半线性椭圆型方程组正解的存在性,其中N>2和函数K：RN→R满足K(x)>0且K∈L∞(RN)∩LN/2(RN)且f(t),f(t)满足在0处超临界增长,在无穷远处拟临界且超线性增长,我们证明了问题(S1)至少存在一对正解(u,v)∈D1,2(RN)×D1,2(RN).我们的结果可以看成是文献[5]中关于零质量的单个方程的主要结论的一个推广.同时,我们的结果也推广了文献[74]中关于Hamiltonian型半线性椭圆型方程组非平凡解存在性结果.在第六章中,我们研究由单个Brczis-Nircnbcrg问题推广得到的带双临界指标项的耦合的Schrodingcr方程组非平凡解的存在性,其中Ω (?) R3是一个光滑的有界域,λ1,λ2<0,μ1,μ2>0且β>0.我们证明了当λ1,λ2满足某种条件时,存在β1>0使得对任意的β>β1,问题(S2)至少存在极小能量正解.特别地,当λ1=λ2时,我们证明了问题(S2)存在形如(c1ωW:C2ω)的极小能量解,其中ω是方程组对应的Brezis-Nircnbcrg问题的极小能量正解.我们的主要结果可以看成是文献[41,42]关于RN(N≥4)中有界域上带双临界指标项的耦合的Schrodingcr方程组部分结果在R3中有界域的一个推广.

全文目录


内容摘要  5-7
Abstract  7-12
第一章 绪论  12-36
  1.1 问题的背景及研究现状  12-25
  1.2 本文的记号  25
  1.3 定义及引理  25-27
  1.4 本文的主要工作  27-35
  1.5 结构安排  35-36
第二章 R~3中非线性Kirchhoff方程基态正解的存在性  36-65
  2.1 问题的提出及其主要结果  36-44
  2.2 预备知识  44-53
  2.3 定理2.1.1和定理2.1.3的证明  53-63
  2.4 定理2.1.4的证明  63-65
第三章 R~3中带临界Sobolev指标项的非线性Kirchhoff型问题正解的存在性  65-84
  3.1 问题的提出及其主要结果  65-70
  3.2 定理3.1.1的证明  70
  3.3 预备知识  70-81
  3.4 定理3.1.2和定理3.1.3的证明  81-84
第四章 RN上带环绕结构的p-Laplacian型方程无穷多解的存在性  84-104
  4.1 问题的提出及主要结果  84-89
  4.2 预备知识  89-102
  4.3 定理4.1.1的证明  102-104
第五章 R~N中零质量的半线性椭圆型方程组正解的存在性  104-118
  5.1 问题的提出及主要结果  104-107
  5.2 预备知识  107-117
  5.3 定理5.1.1的证明  117-118
第六章 带双临界指标项的耦合的Schrodinger方程组极小能量正解的存在性  118-137
  6.1 问题的提出及其主要结果  118-123
  6.2 定理6.1.1的证明  123-129
  6.3 定理6.1.3的证明  129-131
  6.4 定理6.1.2的证明  131-137
参考文献  137-147
研究生期间已发表和待发表的论文  147-148
致谢  148-149

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 椭圆型方程
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