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量子群的PBW形变和范畴化

作　者: 许勇军
导　师: 杨士林
学　校: 北京工业大学
专　业: 数学
关键词: 李(超)代数量子包络代数 PBW形变 PBW基范畴化
分类号: O152.5
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
下　载: 23次
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内容摘要

作为通用包络代数的量子形变,量子群是由Drinfel’d和Jimbo在研究量子Yang-Baxter方程和二维可解格模型时独立提出的.自量子群被引入以来,数学工作者出于不同的动机从不同的角度对其进行了广泛的研究.本学位论文主要考虑量子群的PBW形变、范畴化及其相关的一些问题.首先,我们考虑了量子包络代数Uq(g)的负部分Uq-(g)的PBW形变判别问题,即一个给定的Uq-(g)的形变B。(g)何时是PBW形变.对此我们给出了判别Uq-(g)的PBW形变的算法,其中分次代数的PBW形变理论和量子群的BGG预解式发挥了关键性的作用.作为上述算法的应用,对于Dynkin型A2和B2的李代数g,我们对Uq-(g)的具有形式Bq(g)的PBW形变进行了分类.其次,我们研究了量子包络代数负部分Uq-(g)的一类PBW形变Bq(g).该类代数包含了Letzter研究的量子群Uq(g)的某些余理想子代数以及Gavrilik和Klimyk定义的U(sO(n,C))的非标准量子形变Uq’(so(n,C)).利用Kolb和Pellegrini引入的Bq(g)的辫子群作用,我们定义了量子代数Bq(g)的根向量并研究了它们的性质,进而利用根向量构造了Bq(g)的PBW基.作为应用,我们证明了Iorgov和Klimyk给出的Uq’(so(n,C))的两组PBW基可由Bq(g)的PBW基实现.最后,我们考虑了量子包络代数Uq(sO(7,C))的形变前身u(sO(7,C))和李超代数Osp(1|2)的范畴化问题.一方面,利用一般线性李代数的BGG范畴及其投射函子,我们范畴化了通用包络代数u(sO(7,C))两类基本表示—旋表示和向量表示—的n次张量积表示.事实上,我们分别范畴化了U(so(7,C))的上面两类基本表示的n次张量积表示的底空间、u(sO(7,C))的生成元在底空间上的模作用和u(sO(7,C))的定义关系式.另一方面,我们利用g[2的BGG范畴和Harish-Chandra双模范畴之间的一个正合函子范畴化了Osp(1|2)的括号积在其奇部分上的限制.其中,该限制的对称性表现为g(?)2的两个Harish-Chandra双模之间的同构.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
第1章绪论  10-20
  1.1 研究背景与现状  10-14
  1.2 本学位论文研究内容及结构  14-20
第2章预备知识  20-26
  2.1 分次代数的PBW形变  20-21
  2.2 量子包络代数  21-24
  2.3 李代数的BGG范畴  24-26
第3章量子群的PBW形变  26-38
  3.1 U_q~-(g)的复杂度  26-28
  3.2 U_q~-(g)的PBW形变的判别  28-31
  3.3 秩2情形下U_q~-(g)的PBW形变  31-36
  3.4 本章小结  36-38
第4章量子代数B_q(g)的PBW基  38-78
  4.1 量子代数B_q(g)的辫子群作用  38-45
  4.2 B_q(g)的根向量及其性质  45-65
  4.3 B_q(g)的PBW定理  65-71
  4.4 U'_q(so(n+1,c))的PBW基的实现  71-76
  4.5 本章小结  76-78
第5章李(超)代数sO(7,C)和Osp(1|2)的范畴化  78-106
  5.1 U(so(7,C))的旋表示的底空间的范畴化  78-81
  5.2 U(so(7,C))的旋表示作用的范畴化  81-92
  5.3 U(so(7,C))的关系式的范畴化  92-96
  5.4 U(so(7,C))的向量表示的范畴化  96-100
  5.5 李超代数osp(1|2)的范畴化  100-104
  5.6 本章小结  104-106
结论  106-108
参考文献  108-118
攻读博士学位期间的研究成果  118-120
致谢  120

量子群的PBW形变和范畴化

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