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有限元近似误差对EIT正逆问题影响的定量研究及算子分解方法的应用

作　者: 吴克坚
导　师: 杨继庆; 董秀珍; 付峰
学　校: 第四军医大学
专　业: 生物医学工程
关键词: 电阻抗断层成像正问题逆问题近似误差计算精度算子分解方法
分类号: TP391.41
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

电阻抗断层成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)在数学上实际是一类椭圆型偏微分方程正反问题。已知模型的几何结构、激励信号的源参数、阻抗分布求解模型的电势分布称之为正问题(forward problem)；根据边界电压的测量值求阻抗分布或变化，被称为逆问题(inverse problem)。正问题的研究主要包括数学物理理论描述、数学模型建立和大规模方程组的求解等。逆问题在数学上是不适定的、病态的，即很小的误差会对解产生很大的影响，这导致了图像重建问题对于正问题的误差包括测量误差、模型误差高度敏感。近几十年，测量误差的研究颇为广泛，而模型误差的研究报道不多。通常，模型误差主要来源于求解域的有限元近似、未知的接触阻抗及未知的被测组织的具体形状等。这些模型误差对于EIT问题是至关重要的，决定着重建效率和图像质量。其中有限元的近似误差是数学与工程理论基础研究的一般问题，且在EIT领域的研究报道很少，因此本文的研究立足点为有限元近似误差对EIT正逆问题的定量影响。有限元近似误差主要取决于网格剖分密度和单元插值函数阶数两个方面。本文在大量的数值试验的基础上，具体从以下几个方面做初步讨论：(1) EIT正问题有限元解的误差分析通过不同的剖分规模、不同阶次的插值函数，在二维正方形区域选择特殊的椭圆型偏微分方程例子，比较三角形与四边形剖分的数值结果。结果表明，计算精度随着单元数目和插值函数阶次的增加而提高；随着插值函数阶次的提高，计算精度增加的倍数也逐次提高；并且单元数目愈多、插值函数阶数愈高，计算时耗愈大。推导二维均匀圆域模型、三层同心圆域模型的解析解公式，应用解析方法对三层同心圆的数值解进行讨论，比较FEM数值解与解析解，定量地分析FEM数值解的计算精度、收敛阶、相对误差等数值指标。结果表明，对于某一特定的高阶单元如二阶单元、三次单元，增加剖分规模对于其计算精度的提升作用有限，不同的剖分规模误差只在小数点后三位有变化；对于某一特定的剖分规模，应用高阶单元对提高精度作用不大，如二次、三次、四次单元间的误差只在小数点后两位有变化。(2)有限元剖分对二维、三维图像重建的影响通过仿真实验，给出了三种评价图像的数值指标：重建图像质量函数D、结构相似度SSIM和误差总和TE，运用非迭代的线性近似算法—NOSER和迭代算法—基于TV正则化算法，分别定量地讨论了剖分规模对重构图像的影响。数值试验表明，在NOSER算法中，随着二维圆域的网格剖分不断加密，三种数值指标显示图像质量越来越高；通过基于极大后验估计的误差模型的误差补偿后，图像质量有所改善；加入不同信噪比的噪声后，虽然噪声对重建图像造成了诸多伪影、斑迹；但是纵向比较来看；剖分不断加密，图像质量依然越来越高。当网格剖分规模达到一定程度时，图像质量提高幅度有限，故对于线性近似的非迭代算法来说，选择中分辨网格即可。采用迭代算法，低分辨网格的模型随着迭代次数增加图像质量变高，误差总和TE减小；而高分辨网格的模型在迭代过程中收敛速率变慢或者不收敛，误差增大，重建过程困难。故对于基于全变差正则化的迭代重构算法选择低分辨网格和合适的迭代次数就可以重建高质量的图像。针对三维全电极模型，随着单元数目、节点数目的增加，边界电压误差减少；用于计算正问题的网格从低分辨到高分辨分为七个等级，用于重建的网格均采用中分辨率网格。数值试验表明，从低分辨网格到高分辨网格，图像质量越来越高，伪影减少，边界越发清晰。(3)算子分解方法在EIT中的应用算子分解方法是图像重建方法中的一种直接方法。本文得到了算子分解方法的主要数学模型和理论构架，以及算子分解方法的正则化理论。通过仿真实验，对于多目标模型算子分解方法能得到较好的重建结果。综上，本文从数值分析的角度，在大量的数值模拟仿真试验的基础上，定量地考察了有限元剖分、不同阶数的插值函数对正问题结果的影响；结合均匀场域的解析解公式对数值解进行了误差分析；结合不同重建算法定量地讨论了有限元剖分规模对图像重建的影响；讨论了求解EIT逆问题三大类方法之一直接法中的算子分解方法，为今后更为全面的EIT算法的定量评估和误差分析打下了前期的理论基础。

全文目录

缩略语表  6-7
中文摘要  7-10
Abstract  10-14
前言  14-15
文献回顾  15-28
  1 EIT 问题的数学理论  15-22
    1.1 EIT 正问题的研究  15-17
    1.2 EIT 逆问题的研究  17-22
  2 模型误差的研究现状  22-26
    2.1 对模型误差的理论研究  22-25
    2.2 基于贝叶斯方法的误差补偿  25-26
  3 本文的研究目的和内容  26-28
1 二维有限元数值模拟  28-38
  1.1 有限元系数矩阵的生成  28-30
  1.2 两种不同单元的数值结果比较  30-34
  1.3 三角形单元的数值结果分析  34-38
2 二维圆域解析解与数值解比较  38-46
  2.1 二维均匀圆域的解析解公式  38
  2.2 三层同心圆模型的解析解公式  38-40
  2.3 二维三层同心圆模型的数值模拟实验  40-44
  2.4 三层同心圆模型数值解的误差分析  44-46
3 有限元剖分对二维图像重建影响的定量分析  46-61
  3.1 有限元剖分模型及目标设定  46-47
  3.2 NOSER 算法图像重建  47
  3.3 EIT 重建图像评价指标  47-48
  3.4 EIT 重建图像的定量评价  48-50
  3.5 近似误差补偿及正则化参数优化的效果  50-51
  3.6 测量噪声对重建图像的影响  51-54
  3.7 迭代算法图像重建  54-61
4 三维全电极有限元剖分模型误差分析  61-67
  4.1 三维全电极模型的正问题  61-62
  4.2 有限元剖分模型  62-63
  4.3 剖分产生的边界电压误差  63-64
  4.4 NOSER 算法图像重建  64-67
5 算子分解方法在 EIT 中的应用  67-72
  5.1 数学理论框架  67-68
  5.2 全电极模型下的算子分解方法  68-69
  5.3 仿真实验  69-71
  5.4 结果与讨论  71-72
小结  72-74
参考文献  74-81
个人简历和研究成果  81-82
致谢  82

有限元近似误差对EIT正逆问题影响的定量研究及算子分解方法的应用

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