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图像恢复中高阶变分模型的几个有效数值方法

作　者: 杨奋林
导　师: 陈柯; 于波
学　校: 大连理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 变分模型 路径跟踪 不动点方法 牛顿法 同伦方法
分类号: TP391.41
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
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内容摘要


图像恢复是图像处理中一个最重要的基础性研究课题,是更高级图像处理如边缘检测、图像分割、模式识别、目标跟踪的前期工作.在天文学、遥感成像、医疗图像等领域有着广泛应用.变分模型处理图像恢复问题是保持图像边缘、纹理等重要特征的重要方法之一.求解变分模型常用办法是求解与其相应的Euler-Lagrange方程.这类方程由于非线性程度很高,求解比较困难.如何快速、有效求解这类方程是图像恢复中一个研究热点.本论文对图像恢复中几种变分模型及存在的算法进行了分析.针对Euler-Lagrange方程的高度非线性性构造了逐步减小光滑化参数β的同伦方程,提出了几种有效的路径跟踪方法.文章先从Rudin, Osher和Fatemi提出的全变分(TV:Total Variation)模型入手,转入到Lysaker, Lundervold和Tai提出的高阶的LLT (Lysaker, Lundervold and Tai)模型及TV模型和LLT模型的组合,最后求解Zhu和Chan高阶且非凸的ZC (Zhu and Chan)模型.论文的主要贡献和创新点包括以下几个方面：1.针对牛顿法求解TV模型不收敛,提出了用同伦方法求解.首先,构造了逐步减小光滑化参数β的同伦方程,有效的降低了Euler-Lagrange方程的非线性性.其次,在路径跟踪方法中,结合牛顿法的局部收敛性质给出了自动调节步长的方案,根据解曲线的几何性质提出用拉格朗日插值公式求预估点,有效的提高了同伦方法的收敛速度.2.针对LLT模型在参数β很小时高度非线性性,不动点方法收敛困难,本论文构造了逐步减小光滑化参数的同伦方程,有效地提高了不动点方法的收敛性.3.改进了Lysaker和Tai提出的TV模型和LLT模型的凸组合,极大的提高了图像质量.此外,结合前面同伦方法求解TV模型和LLT模型的工作,提出了同伦框架下两种新的TV模型和LLT模型的凸组合算法.数值实验证实了新凸组合算法不仅保持了原凸组合的优点,而且提高了图像质量.4.非凸变分模型是图像处理中的一个难点.ZC模型就是非凸变分模型的一种,且是高阶的,因此求解十分困难.本文提出了一种直接求解Euler-Lagrange方程的不动点曲率方法,该方法由内外双层迭代组成,外迭代利用不动点迭代,内迭代求解一个类似于TV方程的不动点方程.在不动点曲率方法的基础上提出了松弛不动点方法.同时构造了逐步减小光滑化参数β的同伦方程,有效的提高了不动点曲率方法和松弛不动点方法的收敛性.

全文目录


摘要  4-5
Abstract  5-10
1 绪论  10-14
  1.1 本论文的研究意义  10-11
  1.2 图像恢复中变分方法的研究动态  11-12
  1.3 本论文的主要工作和内容编排  12-14
2 基础知识  14-39
  2.1 图像及相关算子的数学表示  14-16
  2.2 椭圆型方程的有限差分法  16-25
    2.2.1 五点差分格式  16-20
    2.2.2 Neumann边值问题  20-23
    2.2.3 预共轭梯度法  23-25
  2.3 变分法相关知识  25-29
    2.3.1 变分的概念  25-26
    2.3.2 凸性和微商  26-27
    2.3.3 有界变差函数空间的基本理论  27-28
    2.3.4 变分的求解  28-29
  2.4 反问题和正则化  29-32
    2.4.1 反问题与第一类算子方程  29
    2.4.2 适定和不适定问题  29-30
    2.4.3 正则化  30-31
    2.4.4 图像恢复问题和模型  31-32
  2.5 非线性方程组迭代解法  32-35
    2.5.1 简单迭代法  32-33
    2.5.2 牛顿型方法  33-34
    2.5.3 同伦方法  34-35
  2.6 离散化方法及记号  35-39
3 同伦方法求解TV模型  39-56
  3.1 简述目前存在的几类求解TV模型的方法  39-44
    3.1.1 人工时间演化法  40
    3.1.2 不动点方法  40
    3.1.3 CZC方法  40-41
    3.1.4 Melara方法  41-42
    3.1.5 原始一对偶方法  42
    3.1.6 对偶方法  42-43
    3.1.7 分离的Bregman迭代方法  43
    3.1.8 多重网格法  43-44
  3.2 同伦方法求解TV模型  44-48
    3.2.1 路径跟踪  44-46
    3.2.2 方法1  46-47
    3.2.3 方法2  47-48
    3.2.4 方法3  48
  3.3 数值实验  48-52
    3.3.1 牛顿法,CZC方法,Melara方法与方法1—2的比较  49
    3.3.2 非同伦方法与方法2b和方法3的比较  49-51
    3.3.3 FP方法,PD方法以及分离方法与方法2b的比较  51-52
  3.4 TV模型扩展  52-55
    3.4.1 曲面拟合方法  54
    3.4.2 NL-TV方法  54-55
  3.5 本章小结  55-56
4 同伦方法求解LLT模型  56-62
  4.1 简述LLT模型  56
  4.2 不动点方法  56-58
  4.3 同伦方法计算LLT模型  58-59
  4.4 数值实验  59-61
  4.5 本章小结  61-62
5 TV模型和LLT模型的凸组合  62-73
  5.1 存在的TV模型和LLT模型的凸组合  62-63
  5.2 LT2方法  63-64
  5.3 两种新的TV模型和LLT模型的凸组合算法  64-66
    5.3.1 同伦不动点方案2  64-65
    5.3.2 同伦不动点方案3  65-66
  5.4 数值实验  66-70
    5.4.1 TV模型,LLT模型与新的凸组合算法的比较  66-68
    5.4.2 其它凸组合算法与新的凸组合算法的比较  68-70
  5.5 本章小结  70-73
6 同伦方法求解ZC模型  73-92
  6.1 简述ZC模型  73-74
  6.2 求解ZC模型的两种方法  74-75
  6.3 不动点曲率方法  75-80
    6.3.1 TV模型的几种线性化方法  75-76
    6.3.2 不动点方程  76-77
    6.3.3 离散化方法  77
    6.3.4 不动点曲率方法  77-80
  6.4 松弛不动点方法  80-81
  6.5 同伦方法求解ZC模型  81-83
  6.6 数值实验  83-89
    6.6.1 算法6.1和算法6.9的比较  83-85
    6.6.2 TV模型,曲面拟合方法与算法6.9的比较  85-88
    6.6.3 NL算法与算法6.9的比较  88-89
  6.7 本章小结  89-92
结论  92-94
参考文献  94-102
攻读博士学位期间发表学术论文情况  102-103
致谢  103-104
作者简介  104-106

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中图分类: > 工业技术 > 自动化技术、计算机技术 > 计算技术、计算机技术 > 计算机的应用 > 信息处理（信息加工） > 模式识别与装置 > 图像识别及其装置
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