|
作为一类重要的偏微分方程,非线性扩散方程是自然界中广泛存在的扩散现象的数学抽象.非线性扩散方程涉及了诸如物理,化学,生物群体动力学,经济学,金融学等许多科学研究领域.近年来国内外许多数学家在这些领域作了大量工作,并在解的局部存在与惟一性,正则性,整体存在,爆破,熄灭以及爆破和熄灭的时间以及速率的估计等方面得到了一系列结果,这些都极大的丰富了偏微分方程的理论和研究内容.直至今日,对非线性扩散方程的研究仍是一个十分活跃的研究领域.本文主要研究几类退化或奇异反应扩散方程(组)解的性质.所讨论的问题包括非局部边界条件,局部源,局部化源,非局部源以及吸收项对方程解的整体存在、爆破或熄灭的影响.本文共分为四章,主要内容如下：第一章为绪论.我们首先概述本文所研究问题的实际背景和国内外相关的研究工作,然后阐述我们所要讨论的问题及所使用的方法.在第二章中,我们研究具齐次Dirichlet边界条件的拟线性方程组解的整体存在与爆破性质.这种性质反映了方程中源项、吸收项和扩散项之间的平衡.我们首先考虑一类具内部吸收项的强耦合抛物方程组这里Ω是RN(N≥1)中具有光滑边界(?)Ω的有界区域,α,β≥0,ai,bi,ci(i=1,2)>0,L,s,p,q≥1.初值(u0,v0)满足由于方程组是强耦合的,比较原理一般不再成立,这给我们证明解的整体存在和爆破带来一定的困难.又因为方程是退化的,所以解的局部存在性也不能由经典理论直接得到.此外,内部吸收项的存在也给我们判断解是否会在有限时刻爆破增加难度.我们利用正则化的方法结合先验估计技巧得到了问题(1)正古典解的局部存在性;接着我们再次利用先验估计技巧并借助常微分方程组的比较原理证明了一定条件下问题(1)解的整体存在性;最后我们克服强耦合和内部吸收项带来的困难,借助积分估计的技巧用Lp模逼近L∞模证明了一定条件下解的爆破性质.与以往人们研究强耦合问题不同的是,我们这里不需要假设解关于时间单调递增.我们的主要结果如下：定理1.(局部存在性)假设初值(u0,v0)满足(A0).则问题(1)至少存在一个正古典解定理2.(整体存在性)如果lq>sp,则问题(1)至少有一个有界的正整体解;如果lq=sp,则当b1pc2l>b2lc1p(即b1qc2s>b2sc1q)时,问题(1)至少存在一个正整体解.定理3.(爆破)假设b1<c1,c2<b2,1≤l=s,1≤p=q(这是lq=sp的一个特殊情形),0<α≤s,0<β≤p,α,β<2.如果则问题(1)的所有解都在有限时刻爆破.在第二章第二部分中,我们研究了一类具局部化源的弱耦合抛物方程组正古典解的整体存在与爆破性质.这里x0∈Ω是一个固定的点,a,b是正常数.初值(u0,v0)和扩散系数(f,g)满足如下的假设(A2)u0(x)=v0(x)=0,(?)u0/(?)v<0,(?)v0/(?)v<0,x∈(?)Ω,这里v是(?)Ω上的单位外法向量;(A3)f,g∈C([0,∞))nC1((0,∞)),f(0)=g(0)=0,且当x∈(0,∞)时,f(x),9(x)>0,f’(x),g’(x)>0；同第一部分一样,在证明局部解的存在性时,我们必须借助正则化方法来克服边界退化所带来的困难.为了研究问题(2)解的整体存在性,我们利用它的结构构造了一个单个方程的初边值问题,并证明了这个单个方程解的整体存在性;然后从该单方程问题的解出发构造了问题(2)的整体存在的上解.为了给出问题(2)的解在有限时刻爆破的充分条件,我们首先构造了它的一个径向对称的下解,然后将问题转化为一个具局部源的方程组.这方面的结果如下：定理4.(整体存在与爆破)(Ⅰ)如果ab≤1/θ2或者存在δ>0使得则问题(2)的解都是整体存在的.这里θ>0是只依赖于区域Ω和x0的常数.(Ⅱ)如果ab>λ12(B),且存在δ>0使得则问题(2)的解在有限时刻爆破.这里B是以x0为心的包含于Ω的最大的球,λ1(B)>0是-△在B上的第一特征值.当f还满足一定的增长条件时,我们证明了爆破解的爆破集是整个区域,即定理5.(爆破集)如果问题(2)的解(u,v)在T时刻爆破,且存在δ>0使得则(u,v)是全局爆破的.如果f(s)=sp,g(s)=sq(0<p,q<1),且初值(u0,v0)还满足假设条件(A5)存在σ>0使得这里正常数σ,k1,k2只依赖于a,b,p,q.则我们有如下的爆破速率估计：定理6.(爆破速率)假设f(s)=sp,g(s)=sq,0<p,q<1,(u0,v0)满足(A1),(A2)和似(A5).如果(u,v)是问题(2)的解且在T时刻爆破,则存在只依赖于a,b,p,q的正常数C1-C4使得在第三章中,我们考虑具非局部边界条件的拟线性方程(组)解的性质.这类边界条件可以视为齐次Dirichlet边界条件的扰动.同具齐次Dirichlet边界条件的问题不同的是,非局部边界条件也会对解的整体存在和爆破产生重要影响.我们首先研究一类耦合局部化源的多孔介质方程其中m>1,a>0,Ω是RN(N≥1)中具光滑边界(?)Ω的有界区域,k(x,y)是(?)Ω×(?)上的非负连续函数,且满足对任意x∈(?)Ω都有∫Ωk(x,y)dy>0,u0(x)是(?)上的正连续函数,且满足一阶相容性条件u0(x)=∫Ωk(x,y)u0(y)dy,x∈(?)Ω,f(s)满足如下假设：(H1)f(s)∈C[0,∞)∩C1(0,∞)；(H2)f(0)≥0,f’(s)>0,s∈(0,∞).为了清晰刻画非局部边界条件、非线性扩散项和非线性源对解的长时间行为的综合影响,我们首先对问题建立比较原理;然后通过仔细分析各项对解的整体存在或爆破的作用并借助一些特殊构造的椭圆方程的解和常微分方程的解构造了恰当的上、下解,进而获得了问题(3)的解整体存在和爆破的充分条件.主要结果是：定理7.假设{满足(H1)和(H2).(Ⅰ)如果对任意x∈(?)Ω∫Ωk(x,y)dy=1,则问题(3)的解整体存在的充分必要条件是存在s0>0使得(Ⅲ)如果对任意x∈(?)Ω有∫Ωk(x,y)dy>1,则(3)的解在有限时刻爆破的充分条件是存在s0>0使得(Ⅲ)如果对任意x∈(?)Ω有∫Ωk(x,y)dy<1,则当以下两个条件中有一个成立时,(3)的解是整体存在的：(ⅰ)存在s0>0使得(ⅱ)当s→0+时,f(s)=o(s)且u0(x)适当小(ⅲ)α适当小当f满足一个比(H1)更强的条件时,我们可以对任意权函数k(x,y)给出(3)的解在有限时刻爆破的一个充分条件.定理8.假设f满足(H2)和下面的条件(H3)f(s)∈C1[0,∞),.f’(s)/sm1在(0,∞)上单调不减,且对某个s0>0有则对任意k(x,y),(3)的解对充分大的a或u0都在有限时刻爆破.当边界权函数较小时,我们证明了爆破解的爆破集是整个区域.此外,当解关于时间单调递增时,我们还得到了特殊情形时解的爆破速率.定理9.假设且u(x,t)是问题(3)在有限时刻T处爆破的解.则u(x,t)是全局爆破的;此外如果u0(x)还满足(H4)u0(x)∈C2+“((?)),0<α<1,并且存在常数δ>δ1(a,m,p)>0使得则当f(s)=sp(p>1)时,存在正常数c<C使得在第三章第二部分中,我们将第一部分的结果推广到耦合非局部边界条件的多孔介质方程组这里m,n>1,(∫(v),g(u))=(a∫Ωvpdx,b∫Ωuqdx)或(∫(v),g(u))=(avp(x0,t),buq(x0,t)).k1(x,y),k2(x,y)和(u0,v0)满足(H5)k1(x,y),k2(x,y)是定义在(?)Ω×(?)上的非负连续函数,且满足对任意x∈(?)Ω,∫Ωk1(x,y)dy,∫Ωk2(x,y)dy>0；(H6)存在α∈(0,1)使得(u0,v0)∈[C2+α((?))]2；u0(x),v0(x)>0,x∈Ω；u0(x)=∫Ωk1(x,y)u0(y)dy,v0(x)=∫Ωk2(x,y)v0(y)dy,x∈(?)Ω.类似于研究单个方程时的过程,我们首先对问题(4)建立弱比较原理,然后借助这个弱比较原理并通过构造恰当的上下解来给出问题(4)的解整体存在或爆破的充分条件,揭示非局部边界条件和非线性源项对爆破的影响.最后我们研究了边界权函数适当小时解的爆破速率.这里我们只叙述(∫,g)为非局部源时的结论.当(∫,g)为局部化源时,结论是类似的.我们的主要结果如下：定理10.(Ⅰ)如果对任意x∈(?)∫Ω有Ωk1(x,y)dy=∫Ωk2(x,y)dy=1,则(4)的解整体存在的充要条件是pq≤1.(Ⅱ)如果对任意x∈(?)Ω有∫Ωk1(x,y)dy,∫Ωk2(x,y)dy>1,则当pq>1时,(4)的解在有限时刻爆破.(Ⅲ)删假设对任意x∈(?)Ω有∫Ωk1(x,y)dy,∫Ωk2(x,y)dy<1.(ⅰ)如果pq<mn,则(4)的每个解都是整体存在的;(ⅱ)如果pq=mn,则当(a,b)适当小时,(4)的解整体存在;如果pq=mn且p,q≥1,则当(u0,v0)和(a,b)适当大时,(4)的解在有限时刻爆破;(ⅲ)如果pq>mn,则当(u0,v0)或(a,b)适当小时,(4)的解整体存在;如果还有p,q≥1,则当(u0,v0)足够大时,其解在有限时刻爆破.当p,q≥1,∫Ωki(x,y)dy≤1(i=1,2)且(u,v)关于时间单调递增时,我们证得了问题(4)解的爆破速率定理11.假设(u,v)是(4)在T时刻爆破的解,p,q>1,∫Ωki(x,y)dy≤1(i=1,2)且(u0,v0)满足如下假设(H7)u0,v0∈C2+“((?)),0<α<1,且存在δ0>0使得则存在正常数C1-C4使得在第三章最后,我们研究一类具非局部源和非局部边界条件的非散度型方程这里初值u0(x),扩散系数∫(s)和权函数k(x,y)满足如下假设：(H8)f∈C([0,∞))∩C1((0,∞)),且满足f(0)≥0,.f’(s)>0,s∈(0,∞)；(H9)k(x,y)是定义在(?)Ω×Ω上的非负连续函数,且对任意x∈(?)Ω,∫Ωk(x,y)dy>0；(H10)对某个α∈(0,1),u0∈C2+α((?)),u0(x)>0,x∈Ω；u0(x)=∫Ωk(x,y)u0(y)dy,x∈(?)Ω.由于方程是非散度型的,我们没有办法直接对其建立所需的比较原理.为了克服这个困难,我们首先建立一个极值原理,然后基于这个极值原理建立比较原理.进而我们根据边界扰动的不同来构造恰当的上、下解,给出(5)的解在有限时刻爆破的充要条件,从而完整刻画非局部边界条件、非局部源项和非线性扩散项对解的长时间行为的影响.同时,我们也就任意权函数k(x,y)得到了问题(5)解的一个整体上界.据我们所知,这种结果在以往研究具非局部边界条件的拟线性方程的文献中是从未得到过的.我们的主要结果是：定理12.假设条件(Ⅱ8)-(Ⅱ10)圳成立.(Ⅰ)如果对任意x∈(?)Ω有∫Ωk(x,y)dy≥1,则(5)的解在有限时刻爆破的充分必要条件是存在δ>0使得(Ⅱ)如果对任意x∈(?)Ω有∫Ωk(x,y)dy<1,则问题(5)的解u(x,t)在有限时刻爆破的充要条件是aμ>1且这里μ>0是只依赖于区域Ω的常数.(Ⅲ)如果存在δ>0使得那么对任意的k(x,y),只要a适当大,问题(5)的解在有限时刻爆破.最后我们研究了解的爆破速率.与以往文献中研究具非局部边界条件问题解的爆破速率不同的是,我们不需要假设解关于时间t具有单调性.定理13.假设∫(s)=sp(0<p≤1),aγ>1(γ>0是仅依赖于区域Ω的常数),条件(Ⅱ9),(Ⅱ10)成立,且对任意x∈(?)Ω都有∫Ωk(x,y)dy≤1.如果问题(5)的解u(x,t)在有限时刻T处爆破,则存在正常数Ci(i=1,2,3)和q>1使得在第四章中,我们研究非线性方程解的另一种奇性——解的有限时刻熄灭.我们将分三节分别研究不同情形时如下快扩散方程解的熄灭性质,考察非线性扩散、非线性非局部源和非线性吸收项对问题解的熄灭的综合影响,并首次(据我们所知)得到具非局部源的多孔介质方程和非牛顿多方渗流方程的临界熄灭指标.在第四章中,我们始终假设a,q>0,Ω是RN(N≥1)中的有界光滑区域,初值u0(x)≥,(?)0.我们首先考虑当p=2,0<m<1,b=0时问题(6)解的熄灭性质.此时(6)中的方程是一个具非局部源的多孔介质方程.由于当0<q<1时,该问题的反应项不是Lipschitz连续的,我们无法对所有的解建立比较原理.为了克服这个困难,揭示具非局部源的快扩散问题的临界熄灭指标,我们首先利用正则化方法和先验估计技巧得到了问题最大解的存在性,并证明了这个最大解满足下解比较原理.这个比较原理为我们在一定条件下证明问题(6)解的惟一性和存在不熄灭的解提供了依据.进一步,为了克服比较原理不能对任意解成立所带来的困难,我们借助积分估计的方法和Sobolev嵌入定理证明了当非局部源很弱时,问题(6)的所有解都是熄灭的,并给出解的衰减估计.主要结果如下：定理14.(Ⅰ)假设q<m.则对任意非负初值u0∈L∞(Ω),问题(6)的最大解U(x,t)不可能在有限时刻熄灭.(Ⅱ)假设q>m.则对适当小的非负初值u0∈L∞(Ω),问题(6)的任意解都在有限时刻熄灭.(Ⅲ)假设q=m.(ⅰ)如果aμ>1,则对任意非负初值u0∈L∞(Ω),问题(6)的最大解U(x,t)不可能在有限时刻熄灭;(ⅱ)如果aμ=1,则对任意光滑的正初值u0∈L∞(Ω),问题(6)的最大解U(x,t)不可能在有限时刻熄灭;(ⅲ)如果aμ<1,则对任意非负初值u0∈L∞(Ω),问题(6)的惟一解u(x,t)在有限时刻熄灭.这里μ>0是只依赖区域(Ω的常数.接着我们将上一节中得到的结果进行推广,考虑当m>0,p>1,m(p-1)<1,b=0时问题(6)解的熄灭性质.此时(6)中的方程是一个具非局部源项的非牛顿多方渗流方程.同第二节遇到的困难类似,我们也只能对某些特殊的上下解进行比较.借助积分估计、Sobolev嵌入定理和单调迭代技术我们可以证明q=m(p-1)是熄灭的临界指标.具体结果如下：定理15.(Ⅰ)假设0<q<m(p-1).则对任意满足u0m∈L∞(Ω)∩w01,p(Ω)的非负初值u0,问题(6)至少存在一个不熄灭的弱解.(Ⅱ)假设q>m(p-1),0≤u0m(x)∈L∞(Ω)∩w01，p(Ω).则当初值u0(x)适当小时,问题(6)的任意弱解都在有限时刻熄灭.(Ⅲ)假设q=m(p-1).(ⅰ)如果aK>,则对任意满足u0m∈L∞(Ω)∩w01，p(Ω)的非负初值u0,问题(6)至少存在一个不熄灭的弱解;(ⅱ)如果aκ=1,则对任何满足u0m∈L∞(Ω)∩W01，p(Ω)的光滑正初值u0(x),问题(6)至少存在一个不熄灭的弱解;(ⅲ)如果aκ<1,则对任意满足u0m∈L∞(Ω)∩W01,p(Ω)的非负初值u0,问题(6)至少存在一个熄灭弱解.这里κ>0是只依赖于区域(Ω的常数.在第四章的最后,我们研究当m=1,1<p<2,b≠0时,即(6)中的方程是一个同时具有非局部源和吸收项的p-Laplace方程时解的熄灭性质.在这一部分,我们始终假设u0∈L∞(Ω)∩W01，p(Ω).当吸收项是线性项(r=1)时,经过变换v(x,t)=ebtu(x,t)就可将吸收项去掉,从而将问题转化为第三节中所讨论问题当m=1时特例.而当吸收项是非线性项时,判断其解是否会在有限时刻熄灭变得更加复杂.结合著名的Gagliardo-Nirenberg不等式和前两节使用的积分估计技巧,人们仅可以对该问题的解是否熄灭给出部分回答.为了更加清晰地刻画非线性扩散、非局部源和非线性吸收项对解熄灭的影响,给出熄灭的临界指标,我们首先对问题建立弱比较原理,然后通过构造熄灭的上解或不熄灭的下解来讨论解是否会熄灭.主要结果如下：定理16.假设下述条件之一成立.(ⅰ)q>p-1.(ⅱ)min{q,1}>r,或q=r<1且a|Ω|<b.则对适当小的初值u0(x),问题(6)的解在有限时刻熄灭.定理17.假设q<p-1.如果q<r,或q=r且b<aγ,则对任意任意非负初值,(6)至少有一个不熄灭的解.这里γ>0是只依赖于区域Ω的常数.定理18.假设q=p-1.(ⅰ)如果aκ<1,则对任意非负初值,问题(6)的解都在有限时刻熄灭.(ⅱ)如果q<r<1,则当aκ=1时,对任意非负初值,问题(6)的解在有限时刻熄灭;而当a|Ω|≤λ1时,(6)的解满足(ⅲ)如果q<r且aκ>1,或者q<1≤r且aκ=1,则对任意正初值u0(x),(6)至少有一个不熄灭的解.
|