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二维热传导方程和分数阶微分方程的小波数值解法

作　者: 刘玉风
导　师: 陈一鸣
学　校: 燕山大学
专　业: 计算数学
关键词: 二维热传导分数阶微分方程小波数值解非线性
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

近年来，热传导方程和分数阶微分方程在许多科学领域中得到了广泛的应用，例如电磁场的热传播、粘弹性力学和扩散理论等。许多求解这类方程的数值方法也应运而生，目前数学家们更热衷于利用小波分析进行求解。小波分析之所以得到广泛的应用，完全归功于它的数学机理的创见性和完善性。相较于泛函分析、调和分析、数值分析和逼近论等众多学科知识，小波分析是它们完美结合的结晶，是比较完善的理论体系。应用小波分析数值求解分数阶微分方程和热传导方程已经成为新的热门课题。首先，论文简单叙述了小波分析的发展历程、热传导方程以及目前对分数阶微分方程求解所做的一些工作。接着介绍了小波的定义、性质和有关热传导方程、分数阶微分方程的一些预备知识。其次，论文研究了二维热传导方程初边值问题，利用Hermite三次样条多小波对未知函数进行有限逼近使其转化成Sylvester方程，采用可变时间步使数值解达到稳定状态。数值实验结果表明了该方法的可行性和有效性。最后，论文利用Sine-cosine小波和Haar小波分别求解分数阶微分方程，对于求解线性分数阶微分方程，我们采用的数学方法是先将方程转化为Volterra积分方程，再利用Sine-cosine小波进行求解，数值算例给出验证。末章我们借助Haar小波的正交性、紧支撑性等性质对非线性分数阶偏微分方程进行求解，将其转化成易解的非线性代数方程组，并通过数值算例证明了该方法的有效性。

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-10
第1章绪论  10-16
  1.1 热传导和热传导方程的研究及应用  10-12
  1.2 分数阶微积分的发展历程及研究现  12-13
  1.3 小波理论的发展历程及实际应用  13-15
  1.4 课题提出背景及研究意义  15-16
第2章基础知识  16-28
  2.1 热传导方程  16-18
    2.1.1 热传导方程的几种类型  16
    2.1.2 热传导方程初始条件和边界条件  16-18
  2.2 特殊函数和积分变换  18-20
    2.2.1 Gamma 函数  18-19
    2.2.2 Mittag-Leffler 函数  19-20
    2.2.3 Laplace 变换和 Fourier 变换  20
  2.3 分数阶微分的三种经典定义  20-22
  2.4 分数阶微积分运算性质  22-23
  2.5 小波的基本理论  23-27
  2.6 本章小结  27-28
第3章应用 Hermite三次样条多小波求解二维热传导方程  28-38
  3.1 区间上的 Hermite 三次样条多小波  28-31
  3.2 Wavelet-Galerkin 方法  31-34
  3.3 数值实验  34-36
  3.4 可变时间步  36-37
  3.5 本章小结  37-38
第4章运用Sine-cosine小波配置法求解线性分数阶微分方程  38-46
  4.1 Sine-cosine 小波及其性质  38-39
  4.2 新定理  39-41
  4.3 计算步骤  41-42
  4.4 数值算例  42-45
  4.5 本章小结  45-46
第5章运用 Haar小波求解非线性分数阶偏微分方程  46-56
  5.1 Haar 小波及其分数阶微分算子矩阵  46-50
  5.2 计算过程  50-51
  5.3 数值算例  51-55
  5.4 本章小结  55-56
结论  56-58
参考文献  58-62
攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果  62-63
致谢  63-64
作者简介  64

二维热传导方程和分数阶微分方程的小波数值解法

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