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空间形式中具有常平均曲率及有限L~p范数曲率的稳定完备子流形

作　者: 邓勤涛
导　师: 李工宝
学　校: 华中师范大学
专　业: 应用数学
关键词: 常平均曲率稳定弱稳定强稳定有限指数有限L~p范数曲率有限全数量曲率
分类号: O186.12
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

在本文中，我们较系统的研究了欧氏空间和双曲空间中具有常平均曲率和某一有限L^p范数曲率的稳定完备子流形。第一，我们研究了欧氏空间R^n+k中具有平行平均曲率向量h的n维完备非紧子流形Mⁿ，如果Mⁿ具有某一L^m范数曲率，即∫_M|φ|^m<∞，其中m≥n，我们证明了Mⁿ必为极小子流形；进一步，如果Mⁿ还是强稳定的且m=n，则Mⁿ必为R^n+k中的n维仿射平面。这是沈一兵和朱晓华[59]的结果在高余维的推广。第二，我们研究了欧氏空间Rⁿ⁺¹和双曲空间Hⁿ⁺¹（-1）中具有常平均曲率H及有限L^p范数曲率的完备超曲面。首先，我们对于Rⁿ⁺¹中具有常平均曲率H的强稳定的完备非紧超曲面Mⁿ证明了：若Mⁿ的L²范数曲率满足一定的增长性条件，则Mⁿ一定是Rⁿ⁺¹中的仿射超平面。这个结论改进了H．Alencar＆M．Do Carmo[2]的定理。其次，我们考虑了Rⁿ⁺¹(Hⁿ⁺¹（-1）)H>0（H>1）中具有常平均曲率的稳定完备超曲面Mⁿ，证明了：当Mⁿ具有某有限L^p范数曲率时，Mⁿ一定是Rⁿ⁺¹(Hⁿ⁺¹（-1）)中的测地球面。同时，我们也考虑了Rⁿ⁺¹中弱稳定的完备非紧极小超曲面，在其具有某有限L^p范数曲率的条件下，证明了其一定是Rⁿ⁺¹中的仿射超平面。第三，我们研究了双曲空间Hⁿ⁺¹（-1）中具有常平均曲率H及有限指数的完备超曲面，证明了：H⁴（-1）（H⁵（-1））中具有常平均曲率H²>64/63（H²>175/148）及有限指数的完备超曲面必紧致；特别地，H⁴（-1）（H⁵（-1））中具有常平均曲率H²>64/63（H^>175/148）的稳定完备超曲面必为紧致的测地球面。这个结果改进了X．Cheng[27]的定理，并且我们应用这个结果说明了[26]和[28]中某些定理的研究对象根本不存在。

全文目录

内容摘要  5-6
ABSTRACT  6-9
第一章概述  9-19
  §1.1 研究的问题及研究背景  9-13
  §1.2 主要结果和证明方法  13-16
  §1.3 重要概念  16-17
  §1.4 结构安排  17-19
第二章欧氏空间中具有平行平均曲率向量和有限L~p范数的完备非紧子流形  19-32
  §2.1 问题和主要结果  19-20
  §2.2 具有平行平均曲率向量流形的第二基本形式的拉普拉斯  20-25
  §2.3 内部曲率估计  25-28
  §2.4 具有常平均曲率流形的第二基本形式估计及有限全数量曲率  28-32
第三章 R~(n+1)和H~(n+1)(-1)中具有常平均曲率及有限L~p范数的完备超曲面  32-47
  §3.1 问题和主要结果  32-34
  §3.2 定理3.1.3的证明  34-38
  §3.3 有限L~p范数曲率  38-47
第四章 H~(n+1)(-1)中具有常平均曲率及有限指数的完备超曲面  47-57
  §4.1 问题和主要结果  47-48
  §4.2 共形变换  48-50
  §4.3 定理的证明  50-57
第五章待解决的问题  57-59
参考文献  59-65
硕、博士期间完成的论文  65-66
致谢  66

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