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若干随机过程的分形性质

作　者: 郑静
导　师: 林正炎
学　校: 浙江大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 分形布朗运动 局部时 布朗运动模型 水平集 无穷级数 随机过程 轨道性质 分数布朗运动 分形性质 分形维数
分类号: O211.6
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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引　用: 2次
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内容摘要


自二十世纪以来，布朗运动像一座富产的金矿，成果不断，精彩纷呈．今天科学技术工作者仍在不停地挖掘，而它也从未让人们失望．早在1923年，Wiener得出标准布朗运动的轨道几乎必然连续这一开创性的研究成果，随后Lévy对布朗运动进行了深入的研究，得到了一致连续模等重要成果，使得随机过程样本轨道性质的理论研究更为充实，更有吸引力，如今她已成为概率基础研究理论中最充满活力、最热门的方向之一，深受国内外众多学者的关注．至今，样本轨道性质已经有了相当深入的发展，不仅从早期的关于过程的有界性、连续性、不可微性、重对数律等局部性质，发展到70年代后关于精确轨道整体性质的刻画，见Csorgo和Révész的专著《Strong Approximations in Probability andStatistics》（1981）；从早期的标准布朗运动的研究发展到相对一般的高斯过程的研究，见Alder的专著《The Geometry of Random Fields》（1981），Lin，Lu和Zhang的专著《Path Properties of Gaussian Processes》（2001）．随着随机过程在其他学科的广泛应用，与其他学科的相互渗透、相互结合，不断地为样本轨道性质的理论研究带来新的挑战。同时也提供了大量具有很强应用背景和理论价值的课题，像江河的排水量，地貌等由于长期受自然因素的影响而不断的变化，简单地采用布朗运动模型来模拟似乎并不合理．在寻求合适模型的同时，也使得轨道性质的研究对象不断延拓成为必要．布朗运动的推广是多方向的：一个方向是从独立增量性质方面，把标准布朗运动延拓到一般的增量不独立的高斯过程，如分数布朗运动、多分形布朗运动；另一方向是从高斯性质方面，将其推广到一般的独立增量过程，如Lévy过程；还有一类就是推广到复合过程上，如重布朗运动等．Lévy对布朗运动轨道性质的深刻研究激发了Mandelbrot的灵感，从而产生了一门新的数学分支：分形几何．Mandelbrot的专著《The Fractal Geometry of Na-ture》（1975）的出现，分形几何的兴起，随机过程的分形性质激起了很多学者的极大兴趣，发展迅速．到了九十年代已经有了不少相当深入的结果．如Goldman的专著《Movement Brownien a Piusiurs Paramètres：Measure de Hausdorff des Trajec-tories》（1988），Facloner的专著《Fractal Geometry-Mathematical Fundations andApplications》（1990）等．如今，随机过程的分形性质仍是一个相当活跃的课题．本文主要讨论以下五类随机过程的样本轨道性质及随机集的分形维数：多分形布朗运动、广义重布朗运动、独立O-U过程的无穷级数过程、O-U型马尔可夫过程和Lévy过程．我们称集合A是过程{X（t），t∈R+}．在x处的水平集，如果A={t：X（t）=x}；称集合B是过程{X（t），t∈R+}在Q上的像集，如果B={x：X（t）=x，t∈Q)；称集合C是过程{X（t），t∈R+)在Q上的图集，如果C={（t，x）：X（t）=x，t∈Q}第一章，我们探讨了多分形分数布朗运动水平集的Hausdorff维数．由于多分形分数布朗运动是高斯过程，我们首先验证了它的局部非决定性．Berman（1973）引入局部非决定性这一定义．直观地说，如果对一个过程的过去有限时间的观察不能预测随即发生的的事件，则称之为局部非决定的．定理1．2．1．设（?）（t）为一多分形布朗运动，假设|Ht-H?|=0(（1-s／t）Ht（logt）-1)当0＜t-s→0，（1．2．7）则（?）（t）在任意开区间（O，T）上是局部非决定的．就高斯过程而言，局部非决定性和局部时的联合连续性是紧密相连的．在本章的第二节，我们由多分形布朗运动的局部非决定性推出局部时的存在性和连续性．定理1．3．1．设（?）（t）为一多分形布朗运动且满足条件（1．2．7），则它具有联合连续的局部时．在本章的第三节和第四节，我们分别给出了多分形布朗运动水平集Hausdorff维数的上下界．定理1．4．1．设多分形布朗运动（?）（·）满足条件（1．2．7），则对所有T∈R+和几乎所有x∈R，水平集E（x，T）的Hausdorff维数满足定理1．4．2．设（?）（t）为一多分形布朗运动且满足条件（1．2．7）．则对任意的T∈R和几乎所有x，上界的证明基于其轨道的一致连续模，而下界的证明是以局部时作为水平集的随机测度，由能量积分原理推出．上述结论推广了Taylor等关于分数布朗运动的水平集E′（x，T）的Hausdorff维数满足dimH E′（x，T）=1-H a.s.的结论，并使得Taylor的如上结论成为本文的一个推论．第二章，我们考虑了广义重布朗运动水平集的Hausdorff维数．定理2．1．1设．{H（t），0≤t＜∞}是一广义重布朗运动，则对任意0＜T≤1和几乎所有x∈{H（t），t∈[0，T]}，有dimH E（x,T）=3/4 a.s.不同与第一章的是：在水平集的Hausdorff维数下界的证明中，我们应用了局部时的一致Holder连续性而非能量积分原理．在本章的第四节，我们还讨论了广义重布朗运动水平集的填充（packing）维数dimp E（x，T，定理2．1．2设{H（t），0≤t＜∞}是一广义重布朗运动，则对任意0＜T≤1和几乎所有x∈{H（t），t∈[0，T]}，有dimpE（x，T）=3/4 a.s.得出的结论是：广义重布朗运动水平集的Hausdorff维数与填充维数相等，也即，该水平集是正则的（regular）．第三章，我们研究了独立O-U过程的无穷级数过程的分形性质．我们首先利用Geman和Horowitz等（1984）的方法，得出独立O-U过程的无穷级数过程的局部时存在且连续的条件，定理3．3．1．若对某—δ＞0，有且存在λ＞0使得λi≥λ，i=1，2，…，则以概率1，独立O-U过程的无穷级数过程{X（t），t∈R}．在R×R上具有联合连续的局部时．并由此给出其水平集的Hausdorff维数。定理3．4．1设{X（t），t∈R）是一独立O-U过程的无穷级数过程．在定理3．3．1的条件下，若∑k=1∞γκ＜∞，对几乎所有的属于X（t）的像集的x，有下式成立。dimH E（x，T）=1／2 a．s．最后，在第五节，我们利用Mastrand分形乘积的投影定理给出了独立O-U过程的无穷级数过程的图集的Hausdorff维数．这一方法借鉴于Facloner（1990），该方法在随机分形领域并不多见．第四章，我们讨论了O-U型马尔可夫过程局部时存在性和连续性的条件以及像集的Hausdorf维数．一般地说，对随机分形的研究，高斯过程和其他马尔可夫过程有本质的不同．前三章所讨论的过程一般不具有马尔可夫性，对它们的研究更依重于高斯过程的某些特殊性质，O-U型马尔可夫过程由Lévy过程生成，故而我们更多的借鉴了Taylor等在Lévy过程上的研究方法，同时利用Blumenthal和Getoor等对马尔可夫过程局部时的研究结论．最后一章，我们回答了Pruitt和Taylor（1996）提出的一个公开问题（在Xiao（2004）中也有引述）：下列等式γ0=in{α≥0：α-αT（α，1）→∞asα→0 a．s．}是否成立?这里的γ是Lévy过程的像集的填充维数．证明所用的工具主要是局部时的定义和性质，及由Lévy不等式推出的一个关于占时测度的不等式．本文的写作过程也是作者在导师林正炎教授指导下成长进步的过程．本文收录了作者三年来所撰写的部分论文，发表和投稿的详细情况可参见文中的附录．最后，限于作者的知识水平，文中难免会有不当或谬误之处，敬请诸位不吝批评和指正．

全文目录


致谢  6-7
序言及摘要  7-12
Preface & Abstract  12-17
文中部分缩写及符号说明  17-19
第一章 多分形布朗运动的若干分形性质  19-28
  第一节 引言  19-20
  第二节 多分形布朗运动的局部非决定性  20-22
  第三节 多分形布朗运动局部时的联合连续性  22-23
  第四节 多分形布朗运动的水平集的Hausdorff维数  23-27
  参考文献  27-28
第二章 广义重布朗运动水平集的分形维数  28-36
  第一节 引言和结论  28-29
  第二节 水平集Hausdorff维数的上界  29-30
  第三节 水平集Hausdorff维数的下界  30-32
  第四节 水平集的填充维数  32-35
  参考文献  35-36
第三章 独立O-U过程的无穷级数过程的局部时和Hausdorff维数  36-48
  第一节 引言  36-38
  第二节 预备知识  38
  第三节 独立O-U过程的无穷级数过程的局部时  38-40
  第四节 水平集的Hausdorff维数  40-43
  第五节 图集的Hausdorff维数  43-46
  参考文献  46-48
第四章 Ornstein-Uhlenbeck型Markov过程的轨道性质  48-61
  第一节 引言  48-49
  第二节 预备知识  49-52
  第三节 O-U型Markov过程的局部时  52-55
  第四节 O-U型Markov过程的像空间的Hausdorff维数  55-59
  参考文献  59-61
第五章 Lévy过程的填充指数  61-74
  第一节 引言  61-63
  第二节 预备知识  63-65
  第三节 γ=0,1的情形  65-68
  第四节 0  68-71
  第五节 从属过程的情形  71-73
  参考文献  73-74
附:攻读博士学位期间论文完成情况  74

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 概率论与数理统计 > 概率论（几率论、或然率论） > 随机过程
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