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分拆理论中的组合方法

作　者: 赵静宇
导　师: 陈永川
学　校: 南开大学
专　业: 应用数学
关键词: 分拆 overpartition 双射对合剩余类排列主指标 q-模拟单峰 log-凹螺旋的
分类号: O157
类　型: 博士论文
年　份: 2005年
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内容摘要

分拆理论产生于十八世纪,Euler首先对它进行研究。其后经由Cayley、Gauss、Hardy、Jacobi、Lagrange、Legendre、Littlewood、Rademacher、Ramallujan、Schur、Sylvester还有MacMahon等人发展。现在分拆理论仍然吸引着许多数学家.迄今为止大量的分拆定理被发现及证明(用新方法)。我们无法逐个列出这些数学家的名字,在这些数学家中,Andrews作为当代分拆理论的领导人物对充实这个领域做出了巨大贡献。几乎所有的分拆定理都与组合恒等式或基本超几何级数有关。这其中最著名的恒等式之一是Rogers-Ramanujan恒等式(1.1.2)及(1.1.3)。它们可以用分拆理论来描述[60,Ch.3]。MacMahon与Schur[69]用分拆理论解释Rogers-Ramanujan恒等式这一开创性工作促使对这一类分拆定理的研究。1926年Shcur[70]证明了Theorem3.1.1。1928年Gleissberg[45]将Schur定理推广到一个关于模大于3的形式(定理3.1.2).Go511nitz[46]于1967年证明了他的一个定理,该定理可以被看作是Schur定理一个3个共轭类的扩展。Alladi、Andrews和Berkovich[3]证明了一个含4个参数的关键恒等式,并由其得到一个更深层次的分拆定理(定理6.2.1)。定理6.2.1可以看作是G611nitz定理的下一个层次的扩展。在这篇论文中,我们首先用overpartitions的形式给出一个简单的对合[34],通过Gaussian系数的乘积定义来解释它。在陈述这个对合的过程中,表示over-partition时用到的上划线被赋予了权。接下来我们给出另一个简单的对合[35]用来解释Gleissberg定理的关键恒等式。在证明过程中用到了Joichi-Stanton的插入算法及overpartition。之后我们把注意力集中在构造某两种特定分拆集合之间的双射问题上[35]。该特定的分拆集合是Shcur类型的分拆定理中涉及到的。首先我们给出Gollnitz定理中的两个分拆集合之间的一个一一对应。然后将其推广到Alladi、Andrews及Gordon[4]的一般形式上。在进一步扩展之后我们给出一个更普遍的分拆定理。该定理可也看作Go11nitz定理扩展形式。我们在第6节列出一些相关的问题。这一节中的定理已经被证明,而我们.关心的是还未被给出的组合证明。在这一节的最后我们将Andrews的一个分拆定理[13]部分地推广并得到一个新的关于分拆部分模kr(k≥2,,r≥2)的形式。证明方法用到了MacMahon Modular diagram[61]。我们将一个关于单峰性的猜想放在最后一节。我们猜测一种q-Euler多项式An(q)是单峰,log一凹的.An(q)是up-down排列的一种q模拟。

全文目录

Abstract (in Chinese)  4-5
Abstract (in English)  5-6
1 Introduction  6-9
  1.1 Background  6-7
  1.2 Sketch of the Thesis  7-9
2 The Gaussian Coefficients and Overpartitions  9-12
  2.1 The Joichi-Stanton Bijection  9-10
  2.2 The Involution in Interpreting Gaussian Coefficients  10-12
3 Combinatorial Proof on a generalization of Schur’s Partition Theorem  12-15
  3.1 Schur’s Partition Theorem and Gleissberg’s Generalizations  12-13
  3.2 The Proof of (3.1.3) under an Involution  13-15
4 Combinatorial Proof on Go¨llnitz’ Theorem and a Generalization  15-23
  4.1 A Bijective Proof of Go¨llnitz’ Theorem  15-20
  4.2 A Bijection on Some Generalizations of Go¨llnitz’ Theorem  20-23
5 Some Generalizations of Partition Theorems of Schur and Go¨llnitz Type  23-39
  5.1 A Four Residue Classes Partition Theorem  23-31
  5.2 Partition Theorem on Five Residue Classes  31-35
  5.3 A Deeper Partition Theorem  35-39
6 Some Related Problems  39-47
  6.1 Andrews’ Partition Theorem  39-40
  6.2 Alladi, Andrews, and Berkovich’s Generalization  40-44
  6.3 Partition Theorem on Other Gap Conditions  44-47
7 A Conjecture on the Unimodality of a Kind of Euler Polynomials  47-50
  7.1 Up-down Permutation and its q-Analogue  47-48
  7.2 The Conjectures on Unimodality and Log-Concavity of A_n(q)  48-50
A List of A_n(q)  50-51
References  51-56
Acknowledgements  56

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