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Chebyshev-Legendre谱方法及其区域分裂方法

作　者: 吴华
导　师: 马和平
学　校: 上海大学
专　业: 计算数学
关键词: 广义Burgers方程 涡度方程 Navier-Stokes方程 Legendre-GalerkinChebyshev-配置方法 Chebyshev-Legendre耦合方法 Chebyshev插值算子 散度-自由函数空间 区域分裂方法(多区域方法)
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2004年
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内容摘要


本文主要研究偏微分方程的Chebyshe-Legendre谱方法及其区域分裂谱方法。 我们首先较系统地介绍了Chebyshev插值算子在一维单区域和多区域下的不带Chebyshev权函数的逼近性质，以及在多维单区域和多区域下的不带Chebyshev权函数的逼近性质。这些性质是Chebyshev-Legendre谱方法数值分析的理论基础。 接下来，针对广义发展型Burgers方程，我们对Chebyshev-Legendre耦合谱（CL）方法进行理论分析。除了在[15]中的Chebyshev-Legendre配置方法外，我们还对Legendre-Galerkin Chebyshev配置（LGCC）方法进行分析。LGCC方法总体上采用Legendre-Galerkin形式，但对非线性项用Chebyshev配置方法进行逼近。由于结合了Legendre方法和Chebyshev方法的优点，有更大的灵活性，并且更易于推广到多区域方法中。在CL方法的数值分析中，我们需要考虑Chebyshev插值算子按L2范数意义下的稳定性和逼近性质，而不是通常的带Chebyshev权范数意义下的稳定性和逼近性质。由于Chebyshev插值算子的性质，我们很难直接得到全离散格式的L2估计，因此在数值分析中，我们将H1范数估计耦合进去。最优误差估计可通过L2范数和H1范数耦合得到。 然后，同样是对广义Burgers方程，构造Chebyshev-Legendre多区域谱方法格式，即在每一个子区间上运用LGCC方法。数值分析方法，我们采用类似于[72]中的简洁自然的分析方法。我们同时引入类似于[104]和[72]中基函数的方法，以使得系数矩阵稀疏，并且可以并行化求解。方法的稳定性和最优收敛率也得到证明。 在成功地将LGCC方法运用到一维问题中之后，我们把这种方法应用到二维涡度方程中，类似于对Burgers型方程的处理方法，对二维涡度方程我们给出其LGCC方法的离散格式，即总体上采用基本的Legendre-Galerkin形式，但对非线性项用Chebyshev配置方法进行逼近，所使用的配置点是Chebyshev-Gauss点。通过适当的选取基函数，使得系数矩阵稀疏，并对算法进行描述。对于涡度方程的LGCC方法我们也给出它的稳定性和收敛性分析以及数值例子。 在本文中，我们也将对于经典的方程Navier-Stokes方程进行相应的讨论。我们首先构造了Navier-Stokes方程的一个速度与压力分离的弱形式。具体做法如下：应用散度-自由函数空间将Sobolev空间[H01（Ω）]d分解为两个在[H01（Ω）]d中相互正交的子空间。然后将这一分解应用于不可压缩的Navier-Stokes方程的速度与压力藕合的弱形式，得到了速度和压力分离的弱形式，并且利用速度函数U为散度-自由函数空间函数，将方程弱形式的非线性项进行改写。从速度和压力分离的经改写的弱形式出发，进而构造了速度和压力11摘要分离的单区域和多区域Chebyshev一Legendre谱方法格式。最后我们得到了单区域和多区域che饰shev一Legendre谱格式关于速度的护一最优误差估计，同时我们对单区域和多区域方‘;去的压力逼近也做了误差分析。

全文目录


摘要  6-14
第一章 引言  14-20
  1.1 谱方法介绍  14-15
  1.2 区域分裂谱方法  15-16
  1.3 Chebyshev-Legendre谱方法  16-19
  1.4 本文的工作  19-20
第二章 Chebyshev-Legendre谱方法逼近结果  20-30
  2.1 Chebyshev-Legendre谱方法在一维问题中的逼近结果  20-24
    2.1.1 Chebyshev-Gauss-Lobatto插值算子的逼近结果  20-23
    2.1.2 Chebyshev-Gauss插值算子的逼近结果  23-24
  2.2 Chebyshev-Legendre谱方法在多维问题中的逼近结果  24-30
    2.2.1 Chebyshev-Gauss-Lobatto插值算子的逼近结果  24-27
    2.2.2 Chebyshev-Gauss插值算子的逼近结果  27-30
第三章 广义Burgers方程的Chebyshev-Legendre谱方法  30-48
  3.1 引言  30-31
  3.2 CLC方法和LGCC方法的格式  31-32
  3.3 引理  32-34
  3.4 CLC方法的稳定性和收敛性分析  34-41
    3.4.1 半离散CLC格式的稳定性和收敛性  35-39
    3.4.2 全离散CLC格式的收敛性  39-41
  3.5 LGCC方法的稳定性和收敛性  41-45
  3.6 数值结果  45-48
第四章 广义Burgers方程的Chebyshev-Legendre区域分裂谱方法  48-64
  4.1 引言  48
  4.2 格式和算法  48-51
  4.3 引理  51-52
  4.4 MLGCC方法的稳定性和收敛性  52-55
  4.5 第二、三类边界条件的多区域Chebyshev-Legendre谱方法  55-61
    4.5.1 问题和格式  55-56
    4.5.2 半离散格式的稳定性和收敛性  56-59
    4.5.3 全离散格式的收敛性  59-61
  4.6 数值结果  61-64
第五章 涡度方程的Chebyshev-Legendre谱方法  64-76
  5.1 引言  64
  5.2 问题与格式  64-65
  5.3 算法描述  65-66
  5.4 引理  66-69
  5.5 全离散格式的稳定性和收敛性  69-74
    5.5.1 稳定性  70-72
    5.5.2 收敛性  72-74
  5.6 数值结果  74-76
第六章 二维Navier-Stokes方程的Chebyshev-Legendre谱方法  76-86
  6.1 引言  76-77
  6.2 格式  77-79
  6.3 引理  79
  6.4 全离散格式的稳定性和收敛性  79-83
    6.4.1 稳定性  80-81
    6.4.2 收敛性  81-83
  6.5 压力的误差估计  83-85
  6.6 算法说明  85-86
第七章 Navier-Stokes方程的多区域Chebyshev-Legendre谱方法  86-96
  7.1 多区域方法格式  86-87
  7.2 引理  87-89
  7.3 稳定性和收敛性  89-93
    7.3.1 稳定性  89-90
    7.3.2 收敛性  90-93
  7.4 压力的误差估计  93-94
  7.5 算法说明  94-96
参考文献  96-104
致谢  104-106
在读博士期间发表的论文  106

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程
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