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流形的极小体积

作　者: 徐海峰
导　师: 王宏玉；梅加强
学　校: 扬州大学
专　业: 微分几何
关键词: 极小体积 Gromov体积极小熵 (g ~)结构 F-结构 T-结构连通和度量的光滑粘接
分类号: O186.1
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文的主要工作是给出了R~n(n≥3)极小体积为零的具体证明。在我们的方法中,R~3和R~4度量的构造是证明的关键。n≥5时,R~n可以看成是若干R~3和R~4或R~2的乘积流形。对于R~3我们先讨论了其不同于R~2的地方,即不存在旋转对称的曲率有界且体积有限的完备黎曼度量(R~3上似乎不存在曲率有界且体积有限的cusp-like的完备度量,见[Bowditch1993]);接着利用[Cheeger-Gromov1985]中使用的关于R~3的拓扑分解构造其上完备的度量。对于R~4我们没有沿用[Cheeger-Gromov1985,例1.6]中构造高维空间度量的方法,而是将R~4看成R~3×R,利用已构造的R~3上的度量来达到目的。同时我们也证明了欧氏空间连通和R~n#R~n(n≥2)的极小体积为零。证明中仍需用到度量的光滑粘接。为了对极小体积有一个基本的了解,我们在第零章中还加入了与之联系密切的另两个不变量(Gromov体积(也称单纯形体积(simplicial volume))和极小熵)的介绍。另外还简单介绍了(?)-结构,F-结构和T-结构等概念。附录A是对[Gromov1982,Appendix I]的解释。附录B给出了0.3节中纤维丛上和乐群作用的介绍以及3.3节所需要的主丛上的结构方程。

全文目录

中文摘要  4-5
Abstract  5-6
目录  6-8
第零章极小体积  8-44
  0.1 极小体积(Minimal Volume)的定义  8-12
  0.2 极小体积为零的流形的例子  12-13
  0.3 T-结构简述  13-21
  0.4 极小体积与其他拓扑不变量的关系  21-44
    0.4.1 Gromov体积  21-29
    0.4.2 极小熵  29-44
第一章带边曲面的光滑粘接  44-64
  1.1 旋转曲面  44-45
  1.2 关于光滑连接  45-49
  1.3 伪球面的一些性质  49-50
  1.4 伪球面,球面与ε-圆柱面的光滑连接  50-60
  1.5 关于乘积流形在乘积度量下的曲率  60-64
第二章 MinVol(R~n)  64-88
  2.1 R~3上不存在旋转对称的曲率有界且体积有限的完备cusp度量  64-72
    2.1.1 类似问题的考虑  69-72
  2.2 R~3的极小体积  72-80
  2.3 R~n(n≥3)的极小体积  80-88
第三章 MinVol(S~(2n+1))和MinVol(S~n×R)  88-102
  3.1 S~(2n+1)(n≥1)的极小体积  89-91
  3.2 S~n×R(n≥1)的极小体积  91-97
  3.3 关于闭可定向流形上主S~1丛的曲率计算  97-102
附录A Gromov关于R~2极小体积的计算  102-112
附录B 主丛上的联络理论  112-138
  B.1 主丛上的联络  112-122
  B.2 平行移动,和乐群和平坦联络  122-129
  B.3 主丛上的曲率形式  129-138
附录C 一些拓扑概念  138-142
参考文献  142-148
索引  148-152
发表文章目录  152-154
简历  154-156
致谢  156-158

流形的极小体积

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