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非线性泛函分析是现代分析数学中一个重要的分支学科.它具有丰富的理论和先进的方法,为处理实际问题所对应的各种数学模型,如非线性微分方程,偏微分方程和非线性积分方程等提供了有效的理论工具.国内的张恭庆教授,陈文山原教授,郭大钧教授,孙经先教授等在非线性泛函分析的各个领域都取得了辉煌成就(见文献[28]-[41]).非线性奇异问题是近几十年来非线性泛函分析关注的一个重要方面.半序Banach空间中非线性奇异微分方程和脉冲微分方程是微分方程研究中一个可望获取丰硕成果的重要研究课题.由于它不断出现在各种应用学科中,例如:大气对流、生物、医学、化学、经济学、流体力学、核物理、边界层理论、非线性光学等近年来倍受国内外数学家及自然科学家的高度重视.本文利用非线性泛函分析中发展起来的多种先进方法,如拓扑度方法,锥与半序方法,不动点指数理论,不动点定理结合微分方程中的上下解方法,最大值原理,比较原理等,来研究几类非线性奇异微分方程边值问题,脉冲微分积分方程边值问题和测度链上动力方程边值问题正解的存在性,唯一性,解的迭代序列,误差估计及构造收敛于解的迭代算法等,都得到了一些有意义的新成果,其中不少已在国内外重要学术期刊上发表.如《J. Math.Anal. Appl.》,《J. Comput. Appl. Math.》,《Appl. Math. Comput.》,《Appl. Math. Lett.》,《Nonlinear Funct. Anal. Appl.》,《Acta Math. Hungar.》,《应用数学学报》等.本文共分七章.主要内容如下:在第一章,介绍本文的背景知识及主要工作,并给出了后面几章要用到的非线性泛函分析中的有关预备知识和引理.在第二章,主要讨论下列非线性奇异二阶和四阶常微分方程组其中f∈C((0,1)×R+×R+, R+), g∈C((0,1)×R+, R+), R+ = [0, +∞), f, g在t = 0或t = 1处奇异,而且允许f在x = 0处奇异.已知文献多数得到的是边值问题正解存在的充分条件,寻求正解存在的充分必要条件是重要而有趣的,但很困难,而我们获得了新结果.在适当的条件下,利用不动点定理和单调迭代技巧,得到了弹性梁方程组正解存在唯一性的新成果,也得到了解序列的收敛速率及误差估计,这是对解序列的一个新刻划.我们还注意到解的迭代序列是明确的,这有助于数值实现.在第三章,研究了非线性奇异边值问题.在第一节,我们考察下列奇异二阶Neumann边值问题(NBVP)其中0 < k <π2是一个常数,允许非线性项f(t), g(t,x)在t = 0,t = 1和x = 0处奇异.f∈C((0,1), (0,+∞)), g∈C((0,1)×(0,+∞),(0,+∞)).最近,许多作者对奇异边值问题正解存在性的研究感兴趣,大量的工作集中讨论在应用数学和物理中有广泛应用的二阶边值问题.然而,在生物,医学等领域具有重要应用背景的奇异Neumann边值问题的结果相对较少.我们运用不动点定理和Green函数的性质,在非线性项g(t,x)仅需要满足局部单调性的条件下,得到了奇异Neumann边值问题(NBVP)正解存在性的新结果.在第二节,考虑下列奇异三阶边值问题(BVP)正解的存在性,其中允许非线性项a(t),F(t,x)在t = 0,t = 1及x = 0处奇异. a∈C((0,1), (0,+∞)), F∈C((0,1)×(0,+∞),(0,+∞)).通过构造特殊的锥,使用有关序的某种不等式及不动点定理,得到了三阶奇异边值问题正解存在的新结果.在第三节,我们得到了半直线上Sturm-Liouville边值问题新的正解存在性结果,有趣的是我们不仅允许非线性项在端点处奇异,而且得到了关于参数μ明确的解区间.在第四节,我们通过具体的例子说明我们第3.1节与第3.2节的新结果所涉及的函数类是十分广泛的.在第四章,我们考虑更一般的二阶非线性三点边值问题正解的存在性,其中μ> 0是参数,β> 0, 0 <η< 1, 0 <αη< 1, ? := (1?αη)+β(1?α) >0, a∈C((0,1), (0,+∞)), a(t)可以在t = 0或t = 1处奇异. f∈C([0,1]×(0,+∞),(0,+∞)),且允许f(t,x)在x = 0处奇异.近几年,在非线性项施以较强的限制条件下,许多科研工作者对三点边值问题已进行了广泛的研究,并取得了一些较好的结果.对非线性项f(t,y)没有任何单调性或增性条件的假设,并且允许非线性项奇异,在与线性算子有关的第一特征值的条件下,通过构造有效的积分算子,并结合不动点指数理论和Green函数的性质,我们不仅得到了三点边值问题正解的存在性,也得到了关于正参数μ的明确的区间.结果的新颖之处在于不仅允许a(t)在t = 0或t = 1处奇异,而且也允许非线性项f(t,y)在y = 0处奇异.在第五章,研究了测度链上非线性奇异微分方程的正解.在第一节,我们对测度链上动力方程的发展史作简要介绍,并给出了测度链分析中的一些基本概念和预备知识,以备后面几章使用.在第二节,我们讨论下列测度链上微分方程在边界条件下?正解的存在性,其中λ> 0是一个参数,在(0,σ(1))上u(t) > 0,使得u(t)的??导数与积分0σ(1)u?(ττ)存在, u,h∈C((0,σ(1)),(0,+∞)), f∈C([0,σ(1)]×[0,+∞),[0,+∞)), a,b,c,d≥0,且r := ub(c1) + u(σa(d1)) + ac 0σ(1)u?(ss) > 0.利用锥上的不动点指数理论,得到了测度链上Sturm-Liouville边值问题正解存在的新的判别准侧,我们的结果推广并改进了许多已知结果.在第三节,我们考虑下列测度链上二阶非线性微分方程m?点奇异边值问题其中, 0 <αi < T, i = 1,2,3,···,m ? 2, 0 <η1 <η2 <···<ηm?2 < T为常数,αi < T, m≥3, f : (0,T)×(0,+∞) ?→[0,+∞)和g : (0,T) ?→[0,+∞)连续,并且允许非线性项f(t,x)在t = 0或t = T, x = 0处奇异.在允许非线性项奇异的情况下,通过构造精确的上下解以及运用最大值原理,得到了测度链上非线性奇异m?点边值问题存在唯一Crd[0,T]正解和Cr1d[0,T]正解的充分条件.在第六章,我们研究了下列二阶微分方程正周期解的存在性,其中b(t)与g(t)为连续的w?正周期函数,并且f∈C(R×[0,+∞), [0,+∞)).我们建立了一个新的比较原理.在与线性算子有关的第一特征值的条件下,通过构造一个特殊的锥,利用不动点指数理论, Krein Rutmann定理和转化技巧,得到了二阶微分方程至少存在一个正周期解的新的充分条件.在第七章,我们考虑了下列二阶混合型奇异非线性脉冲积分微分方程边值问题正解的存在性,其中α,β,γ,δ≥0,ρ=βγ+αγ+αδ> 0, J = (0,1), 0 < t1 < t2 <···<tm < 1,J = J \ {t1,t2,···,tm}, J = [0,1], J0 = (0,t1], J1 = (t1,t2], Jm = (tm,1], f∈C[J×P×P×P×P,P]. P是E中的正锥, Ik∈C[P, P], Ik∈C[P,P],θ是E中的零元,并且这里K∈C[D,J], D = {(t,s)∈J×J : t≥s},H∈C[J×J,J], K0 = max{K(t,s) : (t,s)∈D}, H0 = max{H(t,s) : (t,s)∈D}. ?y|t=tk及?y |t=tk表示y(t)和y (t)在t = tk处的跳跃算子,即?y|t=tk = y(t+k ) ? y(tk? ), ?y |t=tk = y (t+k ) ? y (tk? )其中y(tk+ ), y (tk+ )和y(tk? ), y (tk? )分别表示y(t)和y (t)在t = tk处的右极限和左极限.允许h(t)∈C(J,R+)在t = 0或t = 1处奇异.我们利用锥理论,不动点定理及严格集压缩算子,在较弱的条件下,得到了二阶奇异非线性脉冲积分微分方程边值问题新的正解存在性定理.所得结果推广并改进了最近的相关结果.
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