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非齐次Dirichlet边值问题的h-p型有限元方法

作　者: 易利军
导　师: 郭本琦
学　校: 上海师范大学
专　业: 计算数学
关键词: h-p型有限元方法 带Jacobi权的Sobolev和Besov空间 Jacobi投影 局部Jacobi算子 非齐次Dirichlet边界条件 多角形 多面体 奇性解 最优误差估计
分类号: O241.82
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要


有限元方法是求解偏微分方程的一种行之有效的数值方法.按照有限元解的空间结构和收敛方式,有限元方法可分为三种基本形态: h型、p型和h-p型,其中h型和p型是h-p型方法的两种特殊情形.本文将在带Jacobi权的Sobolev和Besov空间正则性理论和逼近理论框架下,主要讨论多角形和多面体区域上带有齐次或非齐次Dirichlet边界条件的二阶椭圆边值问题的h-p型有限元方法.本文的主要贡献是:1.针对二维区域上带有齐次或非齐次Dirichlet边界条件的二阶椭圆边值问题,我们讨论了光滑解和多角形区域上的奇性解两种情形,在最小正则性要求u∈Hk(?),k > 1条件下,获得了拟一致网格剖分上h-p型有限元法的最优H1模误差估计.2.针对三维区域上带有齐次或非齐次Dirichlet边界条件的二阶椭圆边值问题,我们讨论了光滑解情形,在最小正则性要求u∈Hk(?),k≥1以及拟一致网格剖分条件下,获得了齐次Dirichlet边值问题h-p型有限元法的最优H1模误差估计.而对于非齐次Dirichlet边值问题情形,在解u∈Hk(?),k > 32条件下,也获得了拟一致网格剖分上h-p型有限元法的最优H1模误差估计.3.针对三维多面体区域上带有奇性解以及齐次Dirichlet边界条件的二阶椭圆边值问题,我们获得了拟一致网格剖分上h-p型有限元法的拟最优H1模误差估计.

全文目录


摘要  7-8
ABSTRACT（英文摘要）  8-11
第一章 绪论  11-17
  1.1 历史背景  11-14
  1.2 研究动机  14-15
  1.3 主要结果  15-17
第二章 带Jacobi 权的Sobolev 和Besov 空间及Jacobi 投影逼近  17-34
  2.1 预备知识  17-21
    2.1.1 Sobolev 空间  17-20
    2.1.2 几个引理  20-21
  2.2 带Jacobi 权的Sobolev 和Besov 空间  21-25
    2.2.1 Jacobi 多项式  21-22
    2.2.2 Q = (-1, 1)~n 上带Jacobi 权的Sobolev 和Besov 空间  22-24
    2.2.3 Qh = (-h, h)~n 上带Jacobi 权的Sobolev 和Besov 空间  24-25
  2.3 Jacobi 投影及其逼近性质  25-34
    2.3.1 Jacobi 投影  25-27
    2.3.2 Qh = (-h, h)~n 上Jacobi 投影的逼近性质  27-28
    2.3.3 Qh = (-h, h)~2 上二维奇性函数的Jacobi 投影的逼近性质  28-29
    2.3.4 Qh = (-h, h)~3 上三维奇性函数的Jacobi 投影的逼近性质  29-34
第三章 二维拟一致网格上h-p 型有限元方法的最优误差估计  34-66
  3.1 引言  34-38
  3.2 局部Chebyshev 算子  38-45
    3.2.1 一维区间上的Chebyshev 投影-插值算子  38-43
    3.2.2 三角形和四边形上的局部Chebyshev 算子  43-45
  3.3 光滑解情形  45-52
    3.3.1 带有齐次Dirichlet 边界条件的椭圆边值问题  46-48
    3.3.2 带有非齐次Dirichlet 边界条件的椭圆边值问题  48-52
  3.4 奇性解情形  52-64
    3.4.1 带有齐次Dirichlet 边界条件的椭圆边值问题  52-58
    3.4.2 带有非齐次Dirichlet 边界条件的椭圆边值问题  58-64
  3.5 小结  64-66
第四章 三维拟一致网格上h-p 型有限元方法的误差估计I：光滑解情形  66-83
  4.1 引言  66-68
  4.2 局部Chebyshev 算子  68-75
  4.3 误差估计  75-82
    4.3.1 带有齐次Dirichlet 边界条件的椭圆边值问题  75-79
    4.3.2 带有非齐次Dirichlet 边界条件的椭圆边值问题  79-82
  4.4 小结  82-83
第五章 三维拟一致网格上h-p 型有限元方法的误差估计II：奇性解情形  83-118
  5.1 引言  83-85
  5.2 局部Jacobi 算子  85-109
    5.2.1 针对点的奇性函数的局部Jacobi 算子  85-90
    5.2.2 针对边的奇性函数的局部Jacobi 算子  90-96
    5.2.3 针对点边结合的奇性函数的局部Jacobi 算子  96-109
  5.3 误差估计  109-117
  5.4 小结  117-118
第六章 总结与展望  118-120
  6.1 总结  118-119
  6.2 展望  119-120
参考文献  120-128
致谢  128-129
攻读博士学位期间的研究成果  129

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 微分方程、积分方程的数值解法 > 偏微分方程的数值解法
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