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效应代数上几类测度的若干研究

作　者: 林清水
导　师: 李容录
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 基础数学
关键词: 量子逻辑效应代数非可加测度收敛性连续性
分类号: O174.12
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
下　载: 34次
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内容摘要

量子理论是二十世纪最伟大的科学成就之一.伴随着量子理论数学公理化而发展起来的量子逻辑理论,其研究已有八十多年历史和丰富内容.自1936年Birkhoff和von Neumann提出量子逻辑概念以来,可分的复Hilbert空间上的正交投影算子格是最重要的量子逻辑模型.但这种模型只能描述可精确测量的量子现象. 1994年, Foulis和Bennett引进了抽象的效应代数概念来作为研究量子力学数学基础的一般框架,这是量子理论数学公理化研究的一个重要进展.众所周知,测度论是数学科学中的一个重要分支,是现代分析数学的一个重要工具,与集合论、概率论、实分析、微分方程等其他数学分支有着密切的联系,并且在许多非数学领域有着广泛的应用.因此,研究量子逻辑上的测度理论不仅具有理论意义而且具有实际价值.本文共分四章.简要回顾了量子逻辑理论研究80多年来的主要阶段、主要成果以及测度理论中与本文相关联方面的研究历史与现状,主要研究了效应代数上有界变差测度和强有界测度、一类非可加测度的收敛性以及单调非可加测度的连续性.本文的主要内容如下:1.证明了效应代数上实值有界测度、强可加测度和强有界测度的等价性,进一步研究了效应代数上有界变差测度并给出了几个基本性质,同时,证明了效应代数上有界变差测度空间和有界链变差测度空间都是Banach空间.另外,我们引进了效应代数上强有界测度序列的两个性质,讨论了这两个性质之间的关系以及它们与一致收敛定理之间的联系,举例说明了这两个性质都弱于强有界测度序列的一致强有界性.2.引进并研究了SCP-效应代数上一类非可加测度,即s-外测度,建立了此类非可加测度的Drewnowski引理,并利用该引理得到了s-外非可加测度的Brooks-Jewett定理,扩大了该定理的应用范围.3.讨论了格效应代数上单调非可加测度的几种连续性,即序连续性、上连续性、下连续性、上强连续性、下强连续性、上自连续性、下自连续性、单调上自连续性以及单调下自连续性等.同时,我们证明了SCP-效应代数上单调序连续非可加测度是强有界的,并给出了强有界测度的一个等价条件.另外,通过例子,我们进一步说明了序连续性、上自连续性、下自连续性、单调上自连续性以及单调下自连续性之间的关系.

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-9
第1章绪论  9-28
  1.1 量子逻辑  9-19
    1.1.1 正交模格与正交代数  9-12
    1.1.2 效应代数与差分偏序集  12-16
    1.1.3 伪效应代数与序列效应代数  16-19
  1.2 与本文相关的研究概述  19-26
  1.3 本文的主要内容  26-28
第2章效应代数上的可加测度  28-44
  2.1 效应代数上可加测度的有界性  28-31
  2.2 效应代数上的有界变差测度  31-34
  2.3 有界变差测度空间  34-38
  2.4 强有界测度序列的两个性质  38-43
  2.5 本章小结  43-44
第3章 s-外测度的Brooks-Jewett 定理  44-56
  3.1 基本概念  44-46
  3.2 s-外测度及其Drewnowski 引理  46-51
  3.3 s-外测度的Brooks-Jewett 定理  51-55
  3.4 本章小结  55-56
第4章非可加测度的几种连续性  56-70
  4.1 预备知识  56-57
  4.2 非可加测度的强连续性  57-62
  4.3 非可加测度的自连续性  62-65
  4.4 关于连续性的几个反例  65-69
  4.5 本章小结  69-70
结论  70-71
参考文献  71-79
攻读博士学位期间所发表的论文  79-81
致谢  81-82
个人简历  82

效应代数上几类测度的若干研究

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