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有限边传递图

作　者: 王改霞
导　师: 李才恒；路在平
学　校: 南开大学
专　业: 应用数学
关键词: 无平方因子点传递图边传递图 Cayley图
分类号: O157.5
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
下　载: 37次
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内容摘要

在代数图论中,图的对称性是一个重要的研究课题,而图的对称性主要是通过其自同构群在图的各个对象上的作用来描述的。本篇论文主要研究具有边传递性质的图。给定一个图Γ,我们用V、E和Arc(Γ)分别表示图Γ的点集、边集和弧集,其中点集的势称作图Γ的阶。设G≤AutΓ,若G传递地作用在点集V、边集E或者弧集Arc(Γ)上,则称图Γ分别是G-点传递的、G-边传递的或者G-弧传递的。正则G-边传递但非G-点传递的图叫做G-半对称图,G-点传递同时G-边传递但非G-弧传递的图叫做G-半传递图。众所周知,一个有限正则的G-边传递图一定是下列图中的一种：(1)G-弧传递图；(2)G-半传递图；(3)G-半对称图。这三类图中的任何一类在过去的几十年都有广泛的研究,从而刻划或者分类边传递图是有意义的。在本文中,我们主要的工作就是刻划和分类无平方因子阶的边传递图。近年来,这类图以及同类点传递图的刻划和分类已经引起了广泛关注。基于Liebeck-Saxl的含有一个极大素因子的本原置换群分类结果,许多特殊情况得到了解决。2004年李才恒和A. Seress得到了无平方因子次数的本原置换群分类定理,这给我们的研究提供了一个更有效的工具。首先,我们刻划了边传递基本图。称图Γ是基本图,如果它的任何一个非平凡的正规商图至多有两个顶点。每一个无平方因子阶的边传递图都是其基本图的一个正规覆盖或者它的正规商图是一个星,从而研究边传递图的一个核心问题就是研究基本边传递图。本文中,我们证明了对于给定度数的图除了几个特殊图类外,只有有限多个边传递图是基本图。我们还分类了四度无平方因子阶的点边传递图,它们或者是Cn[K2],或者是弧正则Metacirculant,或者是边正则Metacirculant,或者是本文给出的某些图的圈覆盖。基于对边传递基本图的刻划,我们进一步研究了无平方因子阶的局部本原图。称图Γ为局部本原图,如果AutΓ的点稳定子在任何一个点邻域上是本原的。在本文中,我们给出了无平方因子阶局部本原图一个刻划：给定度数的无平方因子阶局部本原弧传递图或者是二面体群的正规Cayley图、或者是PSL(2,p)-局部本原图、或者是四度的PSL(2,p)-边传递图、或者是有限个图的正规覆盖。本文还分类了度数不超过7的无平方因子阶局部本原弧传递图,它们或者是一个素数度的二面体群的正规Cayley图、或者是PSL(2,p)的边传递图、或者同构于本文给出的有限个2-弧传递图中的一个。上述分类结果使得我们很自然地去研究无平方因子阶的2-弧传递图。称图Γ为2-弧传递图,如果AutΓ在Γ的所有2-弧上是传递的。本文中我们研究了基柱为交错群的几乎单型的2-弧传递图,通过考察其具有无平方因子阶指数的子群结构给出了该类图一个完全分类。以后将会继续研究无平方因子阶2-弧传递图。在研究无平方因子阶的边传递图过程中,我们得到一类特殊的四度G-边传递图,其中G有一个正规子群M在顶点集V上作用半正则且恰好有两个轨道。本文把此类图推广到一般的情况,证明了任何一个连通的双正规Cayley图都不是3-弧传递的,从而回答了李才恒在2004年提出的是否存在3-传递双正规Cayley图的问题。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-11
1 Introduction  11-23
  1.1 Problems  11-13
  1.2 Reviews  13-17
  1.3 Main Results and Organization of This Thesis  17-23
2 Notation,Definitions and Preliminaries  23-35
  2.1 Permutation Group Theory  23-27
  2.2 Graph Theory  27-29
  2.3 Stabilizers and Local Properties  29-34
  2.4 Number Theory  34-35
3 Edge-Transitive Graphs of Square-Free Order  35-65
  3.1 Construction of Graphs  35-44
    3.1.1 Examples of Metacirculants  36-37
    3.1.2 Graphs Associated with Several Simple Groups  37-39
    3.1.3 The PSL(2,p)-graphs  39-43
    3.1.4 Cyclic covers  43-44
  3.2 A Characterization  44-51
  3.3 Classification of Graphs with Valency 4  51-65
4 Locally Primitive Graphs of Square-Free Order  65-83
  4.1 Examples  65-67
  4.2 A Characterization  67-72
  4.3 Classification of Graphs with Valency Less Than 8  72-83
5 2-arc-transitive Graphs of Sqaure-Free Order Admitting S_c or A_c  83-99
  5.1 Subgroups with Square-Free Indices in S_c or A_c  83-93
  5.2 Classification of Graphs Admitting A_c or S_c  93-99
6 Bi-normal Cayley Graphs  99-103
  6.1 Backgrounds  99-100
  6.2 A Note on Bi-normal Cayley Graphs  100-103
Bibliography  103-113
Acknowledgement  113-115
个人简介  115

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