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CAGD中曲线曲面形状的调整与分析

作　者: 曹娟
导　师: 汪国昭；黄达人
学　校: 浙江大学
专　业: 应用数学
关键词: 计算机辅助几何设计形状参数形状可调三角Bézier曲面有理三角 Bézier曲面张量积曲面重建 Delaunay结构 C-曲线 PH曲线导矢界 Class A 曲率单调
分类号: TP391.72
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

曲线曲面形状的调整与分析是计算机辅助几何设计中紧密联系的两个研究方向。一方面,形状调整提供给设计人员直观的形状调整接口,方便设计人员对形状进行人工交互设计。另一方面,形状分析指导设计人员准确设计具有特殊形状的曲线曲面,并有助于构造出的形状被进一步的运用处理。本文围绕曲线曲面形状的调整与分析中的问题进行了研究,主要获得了以下一些成果:在带形状参数的曲线曲面方面。分析了已有的两类带形状参数的均匀B样条的结构,揭示了其形状可调的本质。在此基础上,利用B样条升阶的思想,提出了更一般的带多形状参数的均匀B样条曲线,且曲线次数越高,形状参数越多。本文的带多形状参数的均匀B样条是比已有的带形状参数的B样条更加灵活的造型工具,它为设计人员提供了丰富的调整曲线形状的接口。带形状参数的曲线可以用张量积的办法被推广到张量积曲面上,而带形状参数的非张量积曲面不能用类似的办法推广得到。本文提出了带单形状参数的任意次类三角Bezier曲面,该曲面除了具有和三角域上的Bezier曲面类似的性质外,在控制顶点不变的情况下其形状仍然可调。在自适应地调整曲面形状方面。我们提出了基于Delaunay结构的二元B样条(DCB样条)的曲面重建框架。本文的曲面重建框架以封闭的具有任意拓扑结构的三角网格为输入数据,并通过求解线性最小二乘问题和自适应地向参数域上添加新的节点以逐步改进重建曲面的质量,最终使得重建的样条曲面与原始数据误差满足指定的误差容许度。以往的基于DMS样条的曲面重建框架需要手工添加辅助节点以帮助构造基函数。与之相比,本文的算法免去了手工增加辅助节点这一不够直观且费力的步骤,从而为设计人员提供了更加省力的曲面重建框架。在C-曲线的形状分析方面。我们研究了平面三次C-曲线当移动一个控制顶点而固定其它时,移动控制顶点使得曲线产生奇异点和拐点的轨迹将平面分割成的特征图之间的关系,并给出了任意的三次C-曲线的特征图的统一构造方法;此外,本文将PH曲线的概念推广到了C-曲线所在的空间,给出了平面三次C-曲线是PH曲线的充要条件,并指出次数大于三的PH C-曲线仅可能是多项式PH曲线、直线或三次PH C-曲线。同时,我们还给出了三次PH C-曲线的几何构造方法,从而提供给设计人员直观、精确地设计PH C-曲线的方法。在曲面导矢界的估计方面。研究了有理三角Bezier曲面de Casteljau算法过程中,中间权因子和中间控制顶点的性质。在此基础上,给出了两类有理三角Bezier曲面低阶导矢界的估计,其中一类是利用有理三角Bezier曲面控制顶点凸包直径给出的,一阶情况是对已有上界的改进,二阶情况当最大权因子和最小权因子比值大于2时是已有上界的改进。第二类估计仅利用初始控制网格局部距离,即三角片的最大边长对导矢界进行估计。新的导矢界在精确性上优于现有的导矢界,有助于提高有关的CAD模型算法的有效性。在曲率挠率单调曲线的设计方面。Farin提出了一种利用所谓的Class A矩阵构造曲率挠率单调变化的Bezier曲线的方法。Class A矩阵的特殊性质使得构造出来的Bezier曲线也具有两个特殊的性质,这是证明该曲线曲率挠率单调变化的充分条件。本文指出,Farin给出的Class A矩阵所必须满足的条件是不恰当的,它无法保持曲线的特殊性质,从而曲线曲率挠率的单调性无从保证。而后,我们提出了新的Class A矩阵必须满足的条件,使得按照Farin的方法构造出的Bezier曲线是曲率挠率单调变化的。

全文目录

致谢  5-6
摘要  6-8
Abstract  8-16
第一章绪论  16-36
  1.1 数曲线曲面的基表示  16-20
  1.2 数曲线曲面表示的发展  20-24
  1.3 曲线曲面的形状调整  24-29
  1.4 曲线曲面的形状分析  29-33
  1.5 本文的研究内容和结果  33-36
第二章带形状参数的曲线曲面的构造  36-52
  2.1 引言  36-37
  2.2 带单形状参数的均匀B样条  37-41
  2.3 带多形状参数的均匀B样条  41-45
  2.4 类二元Bernstein多项式  45-49
  2.5 带形状参数的三角Bezier曲面  49-52
第三章基于DCB曲面的曲面重建  52-72
  3.1 引言  52-54
  3.2 单纯形样条与二元B样条  54-56
  3.3 基于Delaunay结构的B样条  56-58
  3.4 基于DCB曲面的重建框架  58-66
  3.5 实验结果与讨论  66-72
第四章三次C-曲线的形状分析  72-94
  4.1 引言  72-75
  4.2 C-曲线的形状分类  75-78
  4.3 三次C-曲线的特征图  78-84
  4.4 PH C曲线的充要条件  84-89
  4.5 三次PH C-曲线的构造  89-94
第五章有理三角Bezier曲面导矢界的改进  94-106
  5.1 引言  94-95
  5.2 有理三角Bezier曲面的低阶导矢  95-97
  5.3 de Casteljau算法中间权因子和顶点性质  97-101
  5.4 有理三角Bezier曲面导矢界的两类估计  101-104
  5.5 低阶导矢界的比较与应用  104-106
第六章 Class A Bezier曲线  106-118
  6.1 引言  106-107
  6.2 Class A Bezier曲线及其单调性  107-110
  6.3 Class A矩阵细分不变的条件  110-118
第七章总结与展望  118-122
  7.1 全文总结  118-119
  7.2 今后研究工作展望  119-122
参考文献  122-138
附录  138-140
攻读博士学位期间主要研究成果  140

CAGD中曲线曲面形状的调整与分析

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