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求解若干高阶奇异微分方程

作　者: 徐美松
导　师: 么焕民
学　校: 哈尔滨师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 微分方程奇异边值问题差分法再生核空间算法
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 28次
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内容摘要

众所周知,对于物理学、天文学、化学动力学问题,有很大一部分可以归纳为求解微分方程问题.其中大部分方程是求不出初等解,因此,探讨常微分方程的数值解法是必要的.有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法,其表达简单,数学概念直观.是一种直接将微分问题转变为代数问题的近似数值解法.经典的有限差分法是用节点处差商代替导数(数值积分)或积分插值(数值积分)的方法来构造差分格式.有限差分法适用于求解常微分边值问题的数值解,用于解常微分初值问题是,有时有困难.再生核理论来源于积分方程理论和调和、双调和函数的边值问题.再生核空间Wp[a,b]是具有再生核的Hilbert空间.首先根据所求方程阶数定义一个再生核空间,并分别定义内积和范数.将原方程边界齐次化,并将定义域转化为[0,1]区间.选取[0,1]区间上的可数稠密子集,引进线性算子,在再生核空间Wp[0,1]中构造标准正交基,应用再生核空间理论和再生核函数的再生性质可以构造出微分方程的精确解和近似解的级数表达式.对于奇异边值问题,使得很多适用于研究非奇异边值问题的工具不再适用.本文分别应用差分法和再生核理论来求解四阶奇异边值问题,并对相应的算例进行数值模拟,验证了这两种方法对奇异边值问题求解的有效性.

全文目录

摘要  9-10
Abstract  10-12
第1章绪论  12-15
  1.1 微分方程边值问题介绍  12
  1.2 有限差分法概述  12-13
  1.3 再生核理论概述  13
  1.4 本文结构  13-15
第2章预备知识  15-24
  2.1 有限差分法  15-20
    2.1.1 有限差分法解边值问题  15-16
    2.1.2 用差商代替导数  16-18
    2.1.3 追赶法  18-20
  2.2 再生核空间理论  20-23
    2.2.1 再生核空间定义、定理  20-22
    2.2.2 再生核函数的基本性质  22-23
    2.2.3 标准正交基的构造  23
  2.3 本章小结  23-24
第3章用有限差分法求解四阶奇异边值问题  24-29
  3.1 构造差分方程  24-26
  3.2 修正奇异点  26-27
  3.3 数值算例  27-28
  3.4 本章小结  28-29
第4章在再生核空间中求解四阶奇异边值问题  29-34
  4.1 构造近似解  29-31
  4.2 数值算例  31-33
  4.3 本章小结  33-34
结语  34-35
参考文献  35-40
硕士期间发表的论文  40-41
致谢  41

求解若干高阶奇异微分方程

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