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一般型三维代数簇上的4-典范映射

作　者: 董佳琦
导　师: 陈猛
学　校: 同济大学
专　业: 基础数学
关键词: 典范映射纤维化不变量极小模型代数簇有理性亏格射影曲面除子
分类号: O187.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

本文所讨论的是代数簇上的4-典范映射的双有理性。设V是一个一般型的光滑射影三维簇，我们希望知道V上的有理映射Φ₄什么时候是双有理的。等价地，我们在V的极小模型X上研究X的4-典范映射φ₄的双有理性。本文的结论指出当P_g（X）≥7时，如果X不被亏格g=2的曲线或带有不变量（K²，p_g）=（1，2）的曲面典范纤维化，则φ₄一定是双有理的，并且文中举出一些具体的例子说明了主要定理的最优性与合理性。本文的证明主要基于Kawama-Viehweg消失定理和Matsuki-Tankeev原则。这两者相结合能起到降维的作用，这样我们就能把三维簇上的问题转换到曲面甚至曲线上，从而可以利用一维、二维上的已知结果解决问题。为了证明本文的主要定理，首先要建立有理映射φ₁，然后根据d：=dimφ₁（X）的值逐一讨论。显然1≤d≤3。当d=3时，情况比较简单，我们在定理4．1中证明了当p_g（X）≥5时，φ₄是个双有理映射。当d=2时，我们应用[5]中的Theorem 2．2，在定理4．2中证明了如果P_g（X）≥4且X不被亏格g=2的曲线典范纤维化，则φ₄是个双有理映射。当d=1时，φ₁的像B是一条曲线，我们根据B的亏格b的值进行讨论。若b＞0，我们在定理4．3中证明了如果P_g（X）≥3且X不被带有不变量（K²，p_g）=（1，2）的曲面典范纤维化，则φ₄是个双有理映射。若b=0，改进[6]、[7]中所使用的Kollár方法，我们在定理4．4、4．5中证明了如果p_g（X）≥7且X不被带有不变量（K²，p_g）=（1，2）的曲面典范纤维化，则φ₄是个双有理映射。事实上，当X被带有不变量（K²，P_g）=（1，2）的曲面典范纤维化时，X上的4-典范映射不是双有理的。因此我们可以把定理4．1、4．3、4．4、4．5合并为“当p_g（X）≥7且dim X≠2时，φ₄是双有理映射当且仅当X不被带有不变量（K²，P_g）=（1，2）的曲面典范纤维化。”例2．2．1指出存在p₉=4的三维簇，其上d=3，但φ₄不是双有理的，从而定理4．1是最优的。例2．2．2指出存在被亏格g=2的曲线典范纤维化的三维簇，其上φ₄不是双有理的，从而在定理4．3中假设g≥3是合理的。

全文目录

摘要  3-5
Abstraction  5-7
1 关于三维簇上4-典范映射的研究现状  7-9
2 本文的主要定理  9-11
  2.1 主要定理  9
  2.2 例子和最优性  9-11
3 预备工作  11-16
  3.1 概念和记号  11
  3.2 消失定理  11-12
  3.3 Matsuki-Tankeev原则  12
  3.4 建立有理映射  12-13
  3.5 几个引理  13-16
4 对主要定理的证明  16-20
5 公开问题  20-21
致谢  21-22
参考文献  22-23

一般型三维代数簇上的4-典范映射

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