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欧氏空间中直纹面的伴随曲面

作　者: 张楠
导　师: 刘会立
学　校: 东北大学
专　业: 基础数学
关键词: 欧氏空间直纹面平均曲率高斯曲率
分类号: O186.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

微分几何是一门历史悠久的学科.甚至可以这样说,在微积分诞生的同时就诞生了微分几何,不过这门学科的生命力至今仍很旺盛.近年来它对其他分支的影响也越来越深刻,对于自然学科中其他学科的影响范围也越来越广.与此同时这门学科本身从内容到方法也在不断更新.曲线论与曲面论是微分几何中两大重要内容,其中直纹面由于具有很好的性质在曲面论中占据十分重要的地位,受到曲线论中伴随曲线对(如Bertrand曲线对,Mannheim曲线对)思想的启发,联想到研究曲面论中直纹面及其伴随曲面的对应关系问题.三维欧氏空间中的直纹面可以是可展曲面,也可以是极小曲面,单叶双曲面和双曲抛物面.本文用微分几何的方法,从三维欧氏空间中的直纹面出发,分别讨论以上四类直纹面的伴随曲面的性质.第一章介绍本文的研究背景及相关的基础知识,如欧氏空间、直纹面、可展曲面、极小曲面、单叶双曲面、双曲抛物面的定义和性质等.第二章对一般形式的直纹面及其伴随曲面的各个基本量,高斯曲率及平均曲率进行对比和分析.第三章研究三类可展曲面的伴随曲面.第四章讨论两类极小直纹面的伴随曲面.第五章分别讨论单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面.最后一章对本文工作进行总结与展望.

全文目录

中文摘要  5-6
ABSTRACT  6-9
第1章引言与预备知识  9-21
  1.1 引言  9-10
  1.2 三维欧氏空间  10-11
    1.2.1 三维欧氏空间的定义  10
    1.2.2 三维欧氏空间中的标架  10-11
  1.3 三维欧氏空间中向量的运算及Frenet公式  11-13
    1.3.1 三维欧氏空间中向量的内积,外积,混合积  11-12
    1.3.2 三维欧氏空间中曲线的Frenet公式  12-13
  1.4 曲面的基本量  13-14
    1.4.1 曲面的第一基本量  13
    1.4.2 曲面的第二基本量  13-14
    1.4.3 曲面的平均曲率和高斯曲率  14
  1.5 三维欧氏空间中的直纹面  14-21
    1.5.1 直纹面的定义  14-15
    1.5.2 直纹面的性质  15-20
    1.5.3 直纹面伴随曲面的定义  20-21
第2章直纹面的伴随曲面  21-25
  2.1 直纹面的基本量  21-22
  2.2 伴随曲面的基本量  22-25
第3章可展曲面的伴随曲面  25-33
  3.1 柱面的伴随曲面  26
  3.2 锥面的伴随曲面  26-27
  3.3 切线曲面的伴随曲面  27-33
    3.3.1 切线曲面的基本量  27-28
    3.3.2 切线曲面的伴随曲面基本量  28-33
第4章极小曲面的伴随曲面  33-37
  4.1 平面的伴随曲面  33
  4.2 正螺面的伴随曲面  33-37
    4.2.1 正螺面的基本量  33-34
    4.2.2 正螺面的伴随曲面的基本量  34-37
第5章单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面  37-43
  5.1 单叶双曲面的伴随曲面  37-40
    5.1.1 单叶双曲面的基本量  37-38
    5.1.2 单叶双曲面的伴随曲面基本量  38-40
  5.2 双曲抛物面的伴随曲面  40-43
    5.2.1 双曲抛物面的基本量  40-41
    5.2.2 双曲抛物面的伴随曲面基本量  41-43
第6章总结  43-45
参考文献  45-47
致谢  47

欧氏空间中直纹面的伴随曲面

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