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二十世纪二十年代,芬兰数学家R. Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数,并建立了两个理论,被称为Nevanlinna定理(值分布论)；他所创建的这一理论也是二十世纪最重大的数学成就之一,是现代亚纯函数的基础.半个多世纪以来,R. Nevanlinna理论研究在不断发展,而且在复微分方程震荡理论、亚纯函数的唯一性理论研究等方面有着广泛的应用.亚纯函数的唯一性理论,是近几十年来国际上较为活跃的研究课题,有着极为丰富的研究内容,涉及公共值的亚纯函数唯一性问题理论研究起源于R.Nevanlinna的一些研究工作,他不仅为唯一性问题研究奠定了理论基础,还为亚纯函数唯一性理论方面的研究与发展注入了新的活力.他所建立的5IM公共值定理,4CM公共值定理等都是这一研究领域的经典结果.从二十世纪三十年代末到五十年代中期,唯一性理论的研究处于停滞状态,直到二十世纪五十年代末,我国著名数学家熊庆来和杨乐等在这一方面取得了一些深刻的结果.随着亚纯函数唯一性理论的不断发展与完善,一些问题得到了解决,新的研究问题又不断出现,如F. Gross问题,R. Bruck猜想,Yi-Yang司题及A. Hinkkanen问题,都是许多数学家所关注的研究对象,F. Gross, G. G. Gundersen, G. Frank, E. Mues等数学家都获得了不少研究成果.近二十年来,仪洪勋教授在亚纯函数唯一性理论的研究中,独树一帜.他在这一领域所做的原创性工作(参见[1][2]),吸引了国内外学者,著名数学家的研究兴趣,从而有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展,也为中国在这一领域的国际地位做出了重要贡献.李效敏教授在亚纯函数唯一性理论研究中比较活跃,作了许多研究工作,得到了国内外同行的关注.不仅如此,他还在复微分方程和亚纯函数正规族的研究中得到不少突出的结果,例如他在Bruck猜想和Gundersen问题等方面作了许多研究工作(参见[3][4][5]).本文介绍了作者在导师的精心指导下所完成的一些研究工作.全文共分三章.第一章,主要介绍Nevanlinna理论中的主要概念,常用记号及经典结果.第二章,主要研究了亚纯函数的导函数分担四个小函数或四个值的唯一性问题,两个主要结果,改进了R.Nevanlinna,G.G.Gundersen,L.Yang,G.D.Qiu等人的结果.下面是主要定理.定理1 f和g是两个非常数亚纯函数,b1,b2,b3,b4是四个判别的函数且{b1,b2,b3,b4}(?){S(f)∩S(g)}如(?)l)(0,f(k)-bj)=(?)l)(0,g(k)-bj)(j=1,2,3,4),这里l(≥1)和k(≥1)是正整数,使得1/l+1/k+1·(1+1/l)<1,则f(k)=g(k).定理2f和g是两个非常数亚纯函数,b1,b2,b3是三个判别的有穷值,如果f(k)和g(k)是两个判别的非常数亚纯函数且IM分担b1,b2,b3,∞,这里k(≥1)是一个正整数,则f和g是正规增长的,且有相同的增长级,级是正整数或无穷.第三章,我们主要研究非线性微分多项式分担一个非零拟公共值的亚纯函数的唯一性问题,得到一个主要结果,改进了C.Y.Fang and M.L.Fang.,I. Lahiri and Mandal, A.Banerjee等人的有关结果.下面是主要定理.定理3设f与g是两个非常数的亚纯函数,且满足E2)(1,fn(af2+bf+c)f’) =E2)(1,gn(ag2+bg+c)g’),这里a≠0,b和c是复数,且满足|b|+|c|≠0,n是一个正整数且满足n>16-7max{(?)(∞,f),(?)(∞,g)}.则以下四种情形之一成立：(ⅰ)若b≠0,c=0,且(?)(∞,f)+(?)(∞,g)>4/n+2,则f=g.(ⅱ)若b≠0,c≠0,且az2+bz+c=0有两个不同的根,f与g中之一是只有重极点的非整函数的亚纯函数,则f=g.(ⅲ)若b≠0,c≠0,且.az2+bz+c=0有两个相同的根,则f=g.(iv)若b=0,c≠0,则f=g或f=-g.若n是一个偶数,则f=-g不成立
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