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一类三次代数曲线的插值和逼近

作　者: 师晶
导　师: 喻德生
学　校: 南昌航空大学
专　业: 应用数学
关键词: 曲线的插值和逼近三次代数曲线光滑拼接保凸性误差控制
分类号: O241.3
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

曲线的插值和逼近是计算几何中的一个重要研究课题,它有着重要的理论意义和应用价值。在科学研究和外形设计中,通过测量获得一系列数据点,然后用曲线去插值和逼近数据点,接着进行曲线调节和误差估计,最后在电脑上获得几何图形。尽管这方面已经研究出很多有效的方法,如利用多项式曲线、分段三次埃尔米特曲线、分段代数样条曲线、贝齐尔曲线、B样条曲线、有理B样条曲线、三次代数曲线去插值和逼近等,但是仍有一些欠缺,比如如何保形插值、光滑拼接、调节曲线以及减小误差等。为此,本文研究一类具有几何约束的三次代数曲线的光滑拼接和保凸性问题,得到了三次代数曲线的性质、G~1、G~2光滑拼接定理及保凸性定理,进而给出了这类代数曲线的插值逼近算法,并通过计算实例说明这种算法的优点。主要工作如下:第一章是绪论部分,论述了曲线插值和逼近的重要意义和发展历程,详细分析和总结了国内外各种曲线插值和逼近方法的优点和不足,最后简要介绍了本文的研究内容。第二章介绍隐式代数曲线及切矢的定义,全局凸曲线的定义,基于几何约束的三次代数曲线的构造和三次代数曲线的合理分割以及误差的计算方法,从而为后面章节的理论研究和计算实例奠定基础。第三至六章利用几何与代数相结合的方法,研究此类三次代数曲线的光滑拼接和保凸性问题,分析了曲线在不同曲率下的凹凸性,探讨了光滑拼接的充要条件,得出控制多边形为凸时拼接曲线也为凸的性质,最后分别得到了G~1、G~2光滑拼接定理及保凸性定理。第七章给出这类三次代数曲线插值逼近的算法,并将算法所得到的曲线分别与Pade样条函数、有理二次B样条、有理三次B样条曲线作比较,通过计算实例说明这种算法具有计算简单、几何直观、易于调控、易于实现光滑拼接、保持原曲线的重要几何性质等优点,并且能将误差控制在给定的范围内,对曲线有较好的插值逼近效果。第八章在总结全文的同时,提出了需要进一步研究的问题。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
第一章绪论  9-13
  1.1 引言  9-10
  1.2 国内外研究现状  10-12
  1.3 研究的主要内容  12-13
第二章基础知识  13-17
  2.1 隐式代数曲线及切矢的定义  13-14
  2.2 全局凸曲线的定义  14
  2.3 插值两端点、两切线及两曲率的三次代数曲线  14-15
  2.4 三次代数曲线的分段  15
  2.5 逼近误差  15-16
  2.6 结论  16-17
第三章两端点处曲率为零的三次代数曲线  17-26
  3.1 曲线的定义与性质  17-20
    3.1.1 曲线的定义  17
    3.1.2 曲线的性质  17-20
  3.2 主要结果  20-25
    3.2.1 光滑拼接定理  21-23
    3.2.2 保凸性定理  23-25
  3.3 结论  25-26
第四章在一个端点处曲率为零的三次代数曲线  26-33
  4.1 曲线的定义与性质  26-30
    4.1.1 曲线的定义  26
    4.1.2 曲线的性质  26-30
  4.2 主要结果  30-32
    4.2.1 光滑拼接定理  30-32
    4.2.2 保凸性定理  32
  4.3 结论  32-33
第五章两端点处曲率都不为零的三次代数曲线  33-40
  5.1 曲线的定义与性质  33-37
    5.1.1 曲线的定义  33
    5.1.2 曲线的性质  33-37
  5.2 主要结果  37-39
    5.2.1 光滑拼接定理  37-38
    5.2.2 保凸性定理  38-39
  5.3 结论  39-40
第六章不同三次代数曲线之间的光滑拼接与保凸性  40-45
  6.1 光滑拼接定理  40-42
    6.1.1 F(λ) 与G(λ) 光滑拼接定理  40-41
    6.1.2 F(λ) 与H(λ, μ) 光滑拼接定理  41-42
    6.1.3 G(λ) 与H(λ, μ) 光滑拼接定理  42
  6.2 保凸性定理  42-44
    6.2.1 F(λ) 与G(λ) 保凸性定理  43
    6.2.2 F(λ) 与H(λ, μ) 保凸性定理  43
    6.2.3 G(λ) 与H(λ, μ) 保凸性定理  43-44
  6.3 结论  44-45
第七章算法与计算实例  45-57
  7.1 算法  45-46
    7.1.1 算法描述  45
    7.1.2 算法优点  45-46
  7.2 应用  46-56
    7.2.1 计算实例一  46-50
    7.2.2 计算实例二  50-53
    7.2.3 计算实例三  53-56
  7.3 结论  56-57
第八章总结与展望  57-58
  8.1 全文总结  57
  8.2 工作展望  57-58
参考文献  58-61
攻读硕士学位期间发表的论文  61-62
致谢  62-63
附录  63-67

一类三次代数曲线的插值和逼近

内容摘要

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