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随机动力系统稳定性分析框架

作　者: 乔长昭
导　师: 苑波
学　校: 上海交通大学
专　业: 计算机软件与理论
关键词: 势函数随机微分方程数值方法稳定性随机动力系统
分类号: O19
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

自然界中存在着大量随时间演变的体系，它们都有一个基本特征：系统所有可能的状态随时间的演进而变化。这就是所谓的动力系统。动力系统研究的常规思路是建立系统的常微分方程，进而分析其性质。但是随着研究的进展，人们发现随机噪声的混入无法避免，而且噪声在一定条件下会成为系统稳定的正面因素。本文所要研究的对象正是受随机噪声干扰的动力系统——随机动力系统。本文对一种最新的随机动力系统稳定性分析的方法——势函数方法，展开讨论，着重为这个方法提供配套的数学工具，寄希望于将势函数方法定义为一种分析随机动力系统稳定性的标准方法。首先，对背景知识给予介绍，给出随机动力系统发展的一个概貌。然后给出敖平提出的框架的完整推导过程，给出势函数的构建方法。进而展示Ao应用势函数模拟的λ噬菌体生命周期的模型。将这种方法应用于适应性曲面的分析，模型有效地支持了Wright的理论。其次，借用泰勒近似的形式介绍了随机微分方程的若干强近似公式，为后文的数值分析部分提供基础。推导了势函数的计算过程，给出二阶情况下势函数的直接求解公式。结合最新的随机动力学稳定性研究进展，从李雅普诺夫稳定性的角度，将常微分方程的稳定性分析扩展到随机微分方程的稳定性，重新定义稳定性概念，提出了随机渐近稳定状态集。进一步将势函数应用于几种混沌系统的稳定性分析，其中包括典型的极限环——范德波尔方程、二维的双稳态系统——达芬方程和最典型的混沌系统——洛伦茨系统，并与已有的李雅普诺夫函数进行比较，结果表明势函数具有更好的稳定性分析能力。最后，从MS-Stability的角度分析了随机数值积分步长和收敛区域的关系，并且进一步研究势函数引出的另一种随机积分公式，分析了半阶近似的算法和积分步长。文章结尾处总结了下一步工作的导向。

全文目录

摘要  3-5
ABSTRACT  5-8
第一章背景及应用  8-20
  1.1 随机动力学的发展  8-9
  1.2 势函数的构建过程  9-15
  1.3 适应性曲面中的应用  15-19
  1.4 章节内容安排  19-20
第二章计算方法和稳定性定义1  20-31
  2.1 随机微分方程的数值模拟  20-22
  2.2 势函数中的梯度展开  22-26
  2.3 李雅普诺夫稳定性的局限性和重定义  26-31
第三章实例分析3  31-44
  3.1 范德波尔方程  31-33
  3.2 达芬方程  33-40
  3.3 洛伦兹系统  40-44
第四章其它相关内容4  44-52
  4.1 积分步长和收敛区域  44-47
  4.2 势函数的另一种随机积分  47-51
  4.3 进一步的工作  51-52
参考文献  52-55
致谢  55-56
攻读硕士学位期间已发表或录用的论文  56-58

随机动力系统稳定性分析框架

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